Problème : l'interféromètre stellaire de Fizeau-Michelson

La stratégie. Tout repose sur l'ordre dans le plan focal, $p=a(\theta -{\theta }_0)/\lambda$, qui dépend de la direction ${\theta }_0$ du point source. Une étoile étendue est une famille de ${\theta }_0$ incohérents entre eux : on additionne les intensités et l'on applique le critère de brouillage sur l'ordre.

1) L'étoile ponctuelle. D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation, inclinée de ${\theta }_0$ ; sur un plan d'onde $\Sigma$ en amont, les vibrations sont en phase. La différence des chemins optiques de $\Sigma$ aux deux trous est la projection de $\overrightarrow{S_2{S}_1}$ sur la direction de propagation : $$(\Sigma S_1)-(\Sigma S_2)=a\sin {\theta }_0\approx a{\theta }_0:$$ pour ${\theta }_0>0$, l'onde atteint $S_2$ avec une avance de chemin optique $a{\theta }_0$. Après les trous, $(S_{2}M)-(S_{1}M)=a\theta$ (égalité des chemins optiques entre $M$ et son conjugué à l'infini). Au total : $$\delta (\theta )=(\Sigma S_{2}M)-(\Sigma S_{1}M)=-a{\theta }_0+a\theta =a(\theta -{\theta }_0).$$ L'interfrange angulaire est $\lambda /a$ ($\lambda f^{\prime }/a$ dans le plan focal) ; la frange d'ordre $0$ est en $x=f^{\prime }{\theta }_0$, sur l'image géométrique de l'étoile. Une étoile ponctuelle donne un contraste $1$ quel que soit $a$.

2) L'étoile double : le demi-ordre. Avec les étoiles en ${\theta }_0=0$ et ${\theta }_0=\epsilon$, incohérentes, les intensités s'ajoutent : $$I=2I_0\left[1+\cos \frac{2\pi a\theta }{\lambda }\right]+2I_0\left[1+\cos \frac{2\pi a(\theta -\epsilon )}{\lambda }\right]=4I_0\left[1+\cos \frac{\pi a\epsilon }{\lambda }\cos \frac{2\pi a(\theta -\epsilon /2)}{\lambda }\right].$$ Le contraste $\left|\cos \frac{\pi a\epsilon }{\lambda }\right|$ vaut $1$ pour $a=0$ et s'annule d'abord pour $\pi a\epsilon /\lambda =\pi /2$ : $$a=\frac{\lambda }{2\epsilon };$$ avec $\epsilon =0,050^{\prime \prime }=\frac{0,050}{3600}\times \frac{\pi }{180}=2,42\times 10^{-7}\mathrm{rad}$, on trouve $a=\frac{575\times 10^{-9}}{2\times 2,42\times 10^{-7}}=1,19\mathrm{m}$. Les deux systèmes sont alors décalés d'un demi-ordre. $0,05^{\prime \prime }$ est bien en deçà de ce que la turbulence laisse séparer en image directe (la seconde d'arc) : c'est le contraste qui renseigne, et l'on mesure un angle en mesurant une distance.

3) L'étoile étendue : la largeur de cohérence spatiale. Les directions ${\theta }_0$ vont de $-\alpha /2$ à $\alpha /2$ ; en un point $\theta$ du plan focal, l'ordre varie d'un bord à l'autre de l'étoile de $$\Delta p=\frac{a\alpha }{\lambda }.$$ Le critère $\Delta p=1$ donne la disparition des franges pour $$a={\ell }_s=\frac{\lambda }{\alpha }.$$ Le contraste est exactement nul : associons chaque point de la première moitié de la bande au point situé $\alpha /2$ plus loin ; pour $a=\lambda /\alpha$, leurs ordres diffèrent de $1/2$, et d'après la question 2 chaque paire donne un éclairement uniforme. ${\ell }_s$ est la largeur de cohérence spatiale de la source : l'écart maximal entre deux points du front d'onde qui donnent encore des franges contrastées. Comparaison avec l'exercice 4 : la fente source est vue des trous sous l'angle $\alpha =b/d$, et $b=b_c=\lambda d/a$ s'écrit $a=\lambda /\alpha$. C'est le même critère, lu de l'autre côté : au laboratoire, on élargit la source ; en astronomie, on écarte les trous. Remarque : pour un disque uniforme de diamètre angulaire $\alpha$, un calcul hors programme place la première extinction en $a=1,22\lambda /\alpha$ ; on l'admet.

4) Ordres de grandeur. Le Soleil : $\alpha =0,53^{\circ }=9,25\times 10^{-3}\mathrm{rad}$, donc $${\ell }_s=\frac{0,55\times 10^{-6}}{9,25\times 10^{-3}}=5,9\times 10^{-5}\mathrm{m}\approx 60\mu \mathrm{m}$$ ($73\mu \mathrm{m}$ pour le disque). On peut donc faire des franges d'Young en plein soleil, sans fente source, avec des trous distants de nettement moins de $60\mu \mathrm{m}$ : par exemple $20\mu \mathrm{m}$, qui donnent un interfrange de $3\mathrm{cm}$ à un mètre, mais peu de lumière et deux ou trois franges blanches seulement. Un Soleil à $10\mathrm{pc}$ : $$\alpha =\frac{1,39\times 10^9}{10\times 3,09\times 10^{16}}=4,5\times 10^{-9}\mathrm{rad},{\ell }_s=\frac{0,55\times 10^{-6}}{4,5\times 10^{-9}}\approx 1,2\times 10^2\mathrm{m}$$ ($149\mathrm{m}$ pour le disque), soit un diamètre de $0,93$ milliseconde d'arc. Résoudre une étoile ordinaire proche exige une base d'une centaine de mètres, celle des interféromètres optiques actuels.

5) Bételgeuse. Dans le modèle de la bande : $$\alpha =\frac{\lambda }{a}=\frac{575\times 10^{-9}}{3,07}=1,87\times 10^{-7}\mathrm{rad}=0,039^{\prime \prime }$$ ($0,047^{\prime \prime }$ avec le facteur $1,22$, la valeur publiée en 1920). À $170\mathrm{pc}$, soit $5,2\times 10^{18}\mathrm{m}$, le diamètre vaut $$1,87\times 10^{-7}\times 170\times 3,09\times 10^{16}\approx 9,8\times 10^{11}\mathrm{m}\approx 6,6\mathrm{UA}\approx 700\text{diameˋtres solaires}$$ ($1,2\times 10^{12}\mathrm{m}$, $8\mathrm{UA}$, environ $860$ diamètres solaires pour le disque). Au centre du système solaire, l'étoile engloutirait l'orbite de Mars. La distance étant mal connue, la mesure robuste est le diamètre angulaire. Les quatre miroirs : il faut $a=3,07\mathrm{m}$, plus que le diamètre du télescope. Les miroirs extérieurs prélèvent le front d'onde stellaire en deux points distants de $a$ : la différence de marche accumulée avant eux, $-a{\theta }_0$, est celle qui varie d'un point de l'étoile à l'autre ; l'écartement extérieur règle le contraste. Les miroirs intérieurs font entrer les faisceaux dans le télescope en deux points distants de $a^{\prime }\approx 1,1\mathrm{m}$ : la différence de marche dans le télescope vaut $a^{\prime }\theta$, et $\delta =a^{\prime }\theta -a{\theta }_0$ (à une constante près, annulée en égalisant les voies). L'écartement intérieur fixe l'interfrange angulaire $\lambda /a^{\prime }$, qui reste le même pendant qu'on écarte les miroirs extérieurs.

6) Cas limites, homogénéité, limites expérimentales. $\alpha \to 0$ : ${\ell }_s\to \infty$, contraste $1$ pour tout $a$ : une étoile ponctuelle ne brouille jamais les franges. $a\to 0$ : $\Delta p=a\alpha /\lambda \to 0$, contraste $1$ pour toute étoile : deux trous trop proches ne « voient » pas l'étendue de la source. Homogénéité : $\lambda /\alpha$ est une longueur divisée par un angle, une longueur. La lumière blanche : la différence de marche entre les deux voies doit rester inférieure à ${\ell }_c\approx {\lambda }_0^2/\Delta \lambda \approx 1\mu \mathrm{m}$ (exercice 5), quelques dizaines de micromètres avec un filtre : il faut égaliser à mieux que le micromètre des trajets de plusieurs mètres, ce que Michelson faisait avec des lames compensatrices réglables. La turbulence ajoute aux deux voies des chemins optiques aléatoires, de l'ordre du micromètre, variables en quelques millisecondes : elle translate la figure en bloc, sans changer l'écart d'ordre entre les points de l'étoile. La position des franges ne signifie rien ; leur contraste garde toute l'information sur $\alpha$.

Le résultat obtenu — la largeur de cohérence spatiale et la méthode de Fizeau-Michelson. Une source de diamètre angulaire $\alpha$, observée par deux trous distants de $a$, donne des franges dont l'ordre varie de $\Delta p=a\alpha /\lambda$ d'un bord à l'autre de la source ; les franges sont contrastées pour $a\ll {\ell }_s$ et disparaissent pour $a={\ell }_s=\lambda /\alpha$ (modèle de la bande ; $1,22\lambda /\alpha$ pour un disque, admis). En écartant les trous jusqu'à la disparition des franges, on mesure le diamètre angulaire d'une étoile : c'est la méthode de Fizeau-Michelson.

Ce que le problème installe. Le critère de brouillage sur l'ordre, appliqué à un élargissement angulaire de la source : $\Delta p=a\alpha /\lambda$. La largeur de cohérence spatiale relie la taille angulaire d'une source à la distance sur laquelle son front d'onde reste cohérent, et fait d'un interféromètre un instrument de mesure d'angles inaccessibles à l'image directe.