Lire une photo d'anneaux : épaisseur et excédent fractionnaire

La stratégie. La loi des anneaux, linéarisée, fait de ${\rho }_k^2$ une fonction affine de $k$ : la pente contient $e$, l'ordonnée à l'origine contient l'excédent fractionnaire. Une photo donne donc deux informations, dont l'une est inaccessible autrement.

1) La loi linéaire. L'ordre est maximal au centre et décroît vers le bord (exercice 2). Le premier anneau brillant rencontré en partant du centre a le plus grand ordre entier inférieur ou égal à $p_0$, soit $\lfloor p_0\rfloor$ ; les suivants ont les ordres $\lfloor p_0\rfloor -1$, $\lfloor p_0\rfloor -2$, etc. : $p_k=\lfloor p_0\rfloor -k$. (Écrire $p_k=p_0-k$, qui n'est pas entier, est une erreur classique.) Donc $p_0-p_k=k+\epsilon$. Pour les petits angles, $2e\cos i_k=p_k\lambda$ et $\cos i_k\approx 1-i_k^2/2$ donnent $$i_k^2=2\frac{2e-p_k\lambda }{2e}=\frac{\lambda }{e}(p_0-p_k)=\frac{\lambda }{e}(k+\epsilon ),$$ et, avec ${\rho }_k\approx f^{\prime }{i}_k$ : $${\rho }_k^2=\frac{f^{\prime 2}\lambda }{e}(k+\epsilon ).$$ On retrouve l'échelle $f^{\prime }\sqrt{\lambda /e}$ des rayons rencontrée à l'exercice 3.

2) La régression. Les carrés des rayons valent, en $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ : $5,48$ ; $19,18$ ; $32,83$ ; $46,65$ ; $60,37$ ; $74,13$. Ils croissent de $13,7\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ environ par anneau : la loi affine est vérifiée. La régression donne une pente $a=13,73\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ et une ordonnée à l'origine $b=5,44\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$. D'où $$e=\frac{f^{\prime 2}\lambda }{a}=\frac{(100\mathrm{mm}{)}^2\times 5,461\times 10^{-4}\mathrm{mm}}{13,73\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2}\approx 0,398\mathrm{mm},\epsilon =\frac{b}{a}\approx 0,40.$$

L'ordre au centre est donc d'environ $1460$, avec un excédent de $0,40$. Homogénéité : $f^{\prime 2}\lambda /a$ est une longueur.

3) Ce que la vis ne donne pas. Pour obtenir $\epsilon$ à partir de $e$, il faudrait connaître $p_0=2e/\lambda$ à mieux qu'une unité près, donc $e$ à mieux que $\lambda /2\approx 0,27\mu \mathrm{m}$, soit en relatif $1/p_0\approx 7\times 10^{-4}$. Une vis graduée au centième de millimètre en est à quarante fois. C'est l'intérêt de la photo : l'excédent fractionnaire se lit directement sur la position des anneaux.

4) La loi exacte. Le plus grand angle vaut $i\approx 8,61/100\approx 0,086\mathrm{rad}$, environ $5^{\circ }$. Les approximations $\tan i\approx i$ et $\cos i\approx 1-i^2/2$ y faussent ${\rho }^2$ d'une erreur relative d'environ $\frac{3}{4}{i}^2\approx 0,6\%$ (développer ${\tan }^{2}i$ et $2(1-\cos i)$ à l'ordre $i^4$) ; cette erreur croît avec $k$ et pèse donc sur la pente : la loi exacte donne $e=0,4000\mathrm{mm}$, soit un écart de $0,6\%$ avec la loi approchée. L'excédent, lui, varie peu ($0,40$ dans les deux cas). Remarque : les deux valeurs de $e$ diffèrent de $2\mu \mathrm{m}$, ce qui change $p_0$ de plusieurs unités : on retrouve, sur les données elles-mêmes, que l'épaisseur ne fixe pas l'excédent fractionnaire. La loi linéarisée suffit pour un réglage ; pour une mesure à $10^{-3}$ près, on garde la loi exacte.

Ce que l'exercice installe. La numérotation correcte des anneaux, $p_k=\lfloor p_0\rfloor -k$, et la linéarisation ${\rho }_k^2$ affine en $k$ : la pente donne l'épaisseur, l'ordonnée à l'origine l'excédent fractionnaire. Et le réflexe de chiffrer une approximation avant de s'y fier.