La largeur d'une raie : trains d'onde, agitation thermique et la lampe du mètre de 1960

La stratégie. Chaque cause de largeur se chiffre séparément ; la relation $\Delta \nu {\tau }_c\sim 1$ s'applique à la largeur totale, que domine la cause la plus large.

1) La largeur naturelle. En ordre de grandeur, un train de durée $\tau$ occupe $\Delta \nu \sim 1/\tau =6\times 10^7\mathrm{Hz}$ ; la valeur précise vaut $$\Delta {\nu }_{\mathrm{nat}}=\frac{1}{2\pi \times 16\times 10^{-9}}\approx 1,0\times 10^7\mathrm{Hz}=10\mathrm{MHz}.$$ En longueur d'onde, $\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0^2}{c}\Delta \nu =\frac{(589\times 10^{-9}{)}^2\times 1,0\times 10^7}{3,0\times 10^8}\approx 1,2\times 10^{-14}\mathrm{m}$, un centième de picomètre. La longueur de cohérence correspondante serait $c/\Delta {\nu }_{\mathrm{nat}}\approx 30\mathrm{m}$.

2) La largeur Doppler. $m=23\times 1,66\times 10^{-27}=3,8\times 10^{-26}\mathrm{kg}$, d'où $\sqrt{k_{B}T/m}=\sqrt{1,38\times 10^{-23}\times 500/3,8\times 10^{-26}}\approx 4,3\times 10^2\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Avec ${\nu }_0=c/{\lambda }_0\approx 5,1\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ et $\sqrt{2\ln 2}\approx 1,18$ : $$\Delta {\nu }_D=\frac{2\times 5,1\times 10^{14}}{3,0\times 10^8}\times 1,18\times 4,3\times 10^2\approx 1,7\times 10^9\mathrm{Hz}.$$ Ordre de grandeur : $\Delta {\nu }_D/{\nu }_0\sim v/c\sim 10^{-6}$. La largeur Doppler est cent soixante-dix fois la largeur naturelle.

3) La cause la plus large l'emporte. La largeur totale est donc $\Delta \nu \approx 1,7\mathrm{GHz}$, et $${\tau }_c\sim \frac{1}{\Delta \nu }\approx 0,6\mathrm{ns},{\ell }_c=\frac{c}{\Delta \nu }\approx 18\mathrm{cm},\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0^2}{c}\Delta \nu \approx 2,0\mathrm{pm}.$$ Interprétation. Chaque atome émet un train de $16\mathrm{ns}$, mais à sa propre fréquence ${\nu }_0(1+v_x/c)$ ; la vibration reçue somme les trains d'un très grand nombre d'atomes, de fréquences étalées sur $\Delta {\nu }_D$. Deux composantes dont les fréquences diffèrent de $\Delta {\nu }_D$ se déphasent de $2\pi$ en $1/\Delta {\nu }_D\approx 0,6\mathrm{ns}$ : la vibration totale perd la mémoire de sa phase bien avant la fin de chaque train. Le temps de cohérence n'est pas la durée d'émission d'un atome : c'est l'inverse de la largeur totale de la raie, fixée par la cause d'élargissement la plus large. Le modèle des trains d'onde de durée ${\tau }_c$ est un modèle effectif.

4) La lampe à krypton 86. $m=86u=1,43\times 10^{-25}\mathrm{kg}$, ${\nu }_0=c/{\lambda }_0\approx 4,95\times 10^{14}\mathrm{Hz}$. À $63\mathrm{K}$, $\sqrt{k_{B}T/m}\approx 78\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ et $$\Delta {\nu }_D\approx 0,30\mathrm{GHz},\Delta \lambda \approx 0,37\mathrm{pm},{\ell }_c=\frac{c}{\Delta {\nu }_D}\approx 1,0\mathrm{m}.$$ À $300\mathrm{K}$, $\Delta {\nu }_D$ est multiplié par $\sqrt{300/63}\approx 2,2$ : $0,66\mathrm{GHz}$ et ${\ell }_c\approx 0,45\mathrm{m}$. Pourquoi ces choix. $\Delta {\nu }_D\propto \sqrt{T/m}$ : un atome lourd dans une lampe froide donne la raie la plus fine, avec un mètre de cohérence ; un seul isotope, car les raies des isotopes sont légèrement décalées et leur mélange élargirait la raie. Depuis 1983, le mètre est défini par la vitesse de la lumière.

5) Les chocs. Une longueur de cohérence de quelques centimètres correspond à une largeur de plusieurs gigahertz, au-delà de la largeur Doppler. Dans une lampe, les chocs entre atomes interrompent les trains d'onde, ce qui élargit la raie d'autant plus que la pression est élevée. Hiérarchie : largeur naturelle (la dizaine de mégahertz) $\ll$ largeur Doppler (le gigahertz) $\lesssim$ largeur due aux chocs.

Ce que l'exercice installe. La relation $\Delta \nu {\tau }_c\sim 1$ s'applique à la largeur totale de la raie : le temps de cohérence est fixé par la cause d'élargissement la plus large, pas par la durée de vie d'un atome. La largeur Doppler varie comme $\sqrt{T/m}$. Ordres de grandeur à citer : ${\tau }_c$ de $0,1$ à $1\mathrm{ns}$ et ${\ell }_c$ de quelques centimètres à un mètre pour une lampe spectrale.