Problème : la lentille mince par les chemins optiques

La stratégie. La propriété des points conjugués dit que tous les rayons qui vont d'un objet à son image ont le même chemin optique. On l'utilise comme une équation : on écrit le chemin optique d'un rayon de hauteur $r$, on le développe en puissances de $r$, et l'on annule le terme en $r^2$. La face sphérique n'intervient que par l'épaisseur $e(r)$ : aucune loi de la réfraction n'est utilisée.

1) L'épaisseur. Le centre de la calotte est en $z=e_0-R$ ; le point de la face convexe à la distance $r$ de l'axe est à la cote $z=e_0-R+\sqrt{R^2-r^2}$, qui est l'épaisseur traversée puisque la face plane est en $z=0$ : $$e(r)=e_0-(R-\sqrt{R^2-r^2}).$$ Pour $r\ll R$, $\sqrt{R^2-r^2}=R\sqrt{1-r^2/R^2}\approx R-\frac{r^2}{2R}$, donc $e(r)\approx e_0-\frac{r^2}{2R}$. La lentille est plus épaisse au centre. Pour $r=1,0\mathrm{cm}$, la flèche vaut $0,100-\sqrt{0,0100-0,0001}\approx 5,0\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,50\mathrm{mm}$, en accord avec $r^2/2R=0,50\mathrm{mm}$.

2) Le foyer. Prenons $\Sigma$ juste avant la face plane. Le rayon de hauteur $r$ traverse l'épaisseur $e(r)$ de verre, puis va dans l'air du point $P$ de la face convexe, situé à la distance $s(r)=R-\sqrt{R^2-r^2}$ en amont du plan de $S$, jusqu'à $F^{\prime }$ : $$L(r)=ne(r)+\sqrt{r^2+(f^{\prime }+s(r){)}^2},L(0)=n{e}_0+f^{\prime }.$$ À l'ordre $r^2$, $s\approx r^2/2R$ et $\sqrt{r^2+(f^{\prime }+s{)}^2}\approx f^{\prime }+s+\frac{r^2}{2f^{\prime }}$, donc $$L(r)-L(0)\approx -ns+s+\frac{r^2}{2f^{\prime }}=-\frac{(n-1)r^2}{2R}+\frac{r^2}{2f^{\prime }}.$$ Ce terme est nul pour tout $r$ si et seulement si $$f^{\prime }=\frac{R}{n-1}=\frac{10,0\mathrm{cm}}{0,50}=20\mathrm{cm}.$$ Interprétation. Le rayon central traverse $0,50\mathrm{mm}$ de verre de plus que le rayon de hauteur $1,0\mathrm{cm}$, ce qui lui ajoute $(n-1)\times 0,50\mathrm{mm}=0,25\mathrm{mm}$ de chemin optique par rapport au même trajet dans l'air ; le rayon de bord, lui, parcourt dans l'air un trajet oblique plus long, $\sqrt{f^{\prime 2}+r^2}-f^{\prime }\approx \frac{r^2}{2f^{\prime }}=0,25\mathrm{mm}$. Les deux excès se compensent : c'est pourquoi tous les rayons arrivent en phase en $F^{\prime }$. Le centre, plus épais, retarde le rayon qui a le moins de chemin à faire.

3) Rayons et surfaces d'onde. Prenons le plan $z=e_0$ tangent au sommet. Le chemin optique de $\Sigma$ à ce plan, à la hauteur $r$, est $ne(r)+(e_0-e(r))=e_0+(n-1)e(r)$, soit $$n{e}_0-\frac{(n-1)r^2}{2R};\text{donc}\phi (r)=\text{cte}-\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\frac{(n-1)r^2}{2R}.$$ La lentille impose un retard de phase quadratique, maximal au centre. À l'exercice 1, une onde sphérique divergente issue d'un point à la distance $D$ en amont donnait $\text{cte}+k{\rho }^2/2D$ ; une onde convergente vers un point à la distance $D$ en aval donne $\text{cte}-k{\rho }^2/2D$, le bord, plus loin du point de convergence, étant en avance. Avec $k=2\pi /{\lambda }_0$, on identifie $D=R/(n-1)=f^{\prime }$ : la surface d'onde émergente est une sphère centrée sur $F^{\prime }$. Par le théorème de Malus, les rayons émergents sont orthogonaux à cette sphère, donc portés par ses rayons : ils convergent en $F^{\prime }$. Face concave : $e(r)\approx e_0+\frac{r^2}{2R}$, le signe s'inverse, la phase devient $\text{cte}+k(n-1)r^2/2R$ : l'onde émergente est sphérique divergente, issue d'un point virtuel situé à $R/(n-1)$ en amont ; la lentille est divergente, $f^{\prime }=-R/(n-1)$.

4) Cas limites et variantes. $n\to 1$ : $f^{\prime }\to \infty$, le verre ne se distingue plus de l'air. Dans l'eau. L'onde se propage dans l'eau avant et après la lentille : le chemin optique devient $L(r)=ne(r)+n_e\sqrt{r^2+(f^{\prime }+s{)}^2}$ et, à l'ordre $r^2$, $L(r)-L(0)\approx -(n-n_e)\frac{r^2}{2R}+n_e\frac{r^2}{2f^{\prime }}$, d'où $$f^{\prime }=\frac{n_{e}R}{n-n_e}=\frac{1,33\times 10,0}{0,17}\approx 78\mathrm{cm}\text{au lieu de }20\mathrm{cm}.$$ Or l'essentiel de la convergence de l'œil vient de la cornée, d'indice voisin de celui de l'eau : sous l'eau, elle ne fait presque plus converger, et l'on voit flou ; un masque rétablit une couche d'air. Biconvexe. Les deux faces retirent chacune une épaisseur : $e(r)\approx e_0-\frac{r^2}{2R_1}-\frac{r^2}{2R_2}$, et le même calcul donne $$\frac{1}{f^{\prime }}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right);$$ pour $R_1=R_2=20\mathrm{cm}$, $\frac{1}{f^{\prime }}=0,50\times \frac{2}{0,20}=5,0{\mathrm{m}}^{-1}$, soit $f^{\prime }=20\mathrm{cm}$. C'est la formule des opticiens.

5) La relation de conjugaison. $A$ est sur l'axe, en amont : $\overline{OA}<0$, et la distance de $A$ au plan de la lentille est $-\overline{OA}$. Pour le point $M$ de la lentille à la hauteur $r$ : $$(AM)=\sqrt{{\overline{OA}}^2+r^2}\approx -\overline{OA}+\frac{r^2}{2|\overline{OA}|}=-\overline{OA}-\frac{r^2}{2\overline{OA}}.$$ La lentille ajoute à la hauteur $r$, d'après la question 3, le chemin optique $\text{cte}-\frac{(n-1)r^2}{2R}=\text{cte}-\frac{r^2}{2f^{\prime }}$. Enfin, si l'image $A^{\prime }$ est réelle ($\overline{O{A}^{\prime }}>0$), $(M{A}^{\prime })\approx \overline{O{A}^{\prime }}+\frac{r^2}{2\overline{O{A}^{\prime }}}$. Le chemin optique total vaut $$(A{A}^{\prime })=\text{cte}+\frac{r^2}{2}\left(-\frac{1}{\overline{OA}}-\frac{1}{f^{\prime }}+\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}\right).$$ $A$ et $A^{\prime }$ sont conjugués si et seulement si $(A{A}^{\prime })$ ne dépend pas de $r$, c'est-à-dire si la parenthèse est nulle : $$\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f^{\prime }}.$$ C'est la relation de conjugaison de Descartes, établie ici par la seule égalité des chemins optiques ; écrite avec des mesures algébriques, elle vaut aussi pour une image virtuelle. Application : $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}=\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{1}{60}$, donc $\overline{O{A}^{\prime }}=60\mathrm{cm}$, image réelle, et $\gamma =\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}=-2$. Objet au foyer objet : $\overline{OA}=-f^{\prime }$ donne $1/\overline{O{A}^{\prime }}=0$ ; la courbure de l'onde incidente, $-r^2/2\overline{OA}=r^2/2f^{\prime }$, est exactement compensée par la lentille, et l'onde émergente est plane : c'est la source « à l'infini » de l'exercice 1.

6) Où s'arrête Gauss. À l'ordre suivant, $s\approx \frac{r^2}{2R}+\frac{r^4}{8R^3}$ et $$\sqrt{r^2+(f^{\prime }+s{)}^2}\approx f^{\prime }+s+\frac{r^2}{2(f^{\prime }+s)}-\frac{r^4}{8f^{\prime 3}}\approx f^{\prime }+s+\frac{r^2}{2f^{\prime }}-\frac{r^{2}s}{2f^{\prime 2}}-\frac{r^4}{8f^{\prime 3}}.$$ Avec $f^{\prime }=R/(n-1)$, les termes en $r^2$ s'annulent et il reste $$L(r)-L(0)\approx -\frac{(n-1)r^4}{8R^3}-\frac{r^4}{4R{f}^{\prime 2}}-\frac{r^4}{8f^{\prime 3}}=-\frac{(n-1)r^4}{8R^3}[1+2(n-1)+(n-1{)}^2]=-\frac{(n-1)n^2}{8R^3}{r}^4.$$ Le rayon de bord arrive en avance sur le rayon central. Pour $r=1,0\mathrm{cm}$ : $$\frac{0,50\times 2,25\times (0,010{)}^4}{8\times (0,100{)}^3}\approx 1,4\mu \mathrm{m}\approx 2,6{\lambda }_0;$$ pour $r=5,0\mathrm{mm}$, seize fois moins : $0,088\mu \mathrm{m}\approx {\lambda }_0/6$. Le critère ${\lambda }_0/4$ donne $$r_{\max }={\left(\frac{2{\lambda }_0{R}^3}{(n-1)n^2}\right)}^{1/4}\approx 5,6\mathrm{mm},$$ soit un diamètre utile d'environ un centimètre pour cette lentille de $20\mathrm{cm}$ de focale. Sens physique. Le stigmatisme d'une lentille à faces sphériques n'est qu'approché : les termes en $r^2$ se compensent exactement, ceux en $r^4$ non. Les conditions de Gauss (rayons peu écartés de l'axe et peu inclinés) sont celles où l'écart résiduel reste une fraction de longueur d'onde : l'image d'un point est un point, à la précision ondulatoire près. Le coefficient de $r^4$ dépend de l'orientation de la lentille (c'est l'aberration sphérique, hors programme) : seul compte ici l'ordre de grandeur.

Le résultat obtenu — la formule des opticiens et la relation de conjugaison de Descartes, par l'égalité des chemins optiques. Une lentille mince d'indice $n$, dans l'air, de faces de rayons $R_1$ et $R_2$, impose à l'onde qui la traverse un retard de phase quadratique en la distance à l'axe ; elle transforme une onde plane en onde sphérique centrée sur son foyer image, à la distance $f^{\prime }$ donnée par $\frac{1}{f^{\prime }}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$ ; et l'égalité des chemins optiques entre un point objet et son image impose $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f^{\prime }}$. Ces résultats valent à l'ordre $r^2$ : les termes en $r^4$ fixent l'ouverture des conditions de Gauss.

Ce que le problème installe. La propriété des points conjugués n'est pas seulement une conséquence du stigmatisme : c'est une équation dont on tire la focale d'une lentille et la relation de conjugaison. Une lentille est un retard de phase quadratique ; en description par les surfaces d'onde, elle courbe un plan en sphère, en description par les rayons, elle fait converger. Le développement en $r$ sépare ce que garantit l'optique de Gauss (ordre $r^2$) de ce qu'elle néglige (ordre $r^4$).