Le banc de fentes d'Young : mesurer, et dire à combien près

La stratégie. Les fentes sont un outil expérimental : on dit pourquoi on s'en sert, sans les modéliser. La mesure s'organise pour que les erreurs systématiques se voient : on exploite une droite plutôt qu'un point.

1) Pourquoi des fentes. Des trous ponctuels ne laissent passer qu'un flux minuscule. Une fente est une suite de points alignés selon $(Oy)$, perpendiculairement à $S_1{S}_2$ ; deux points en regard sur les deux fentes, à la même cote $y$, forment une paire de trous d'Young distants de $a$, qui donne près de l'axe $\delta =ax/D$, indépendant de $y$. Toutes les tranches donnent le même système de franges : les intensités s'ajoutent, et l'on gagne en lumière sans brouiller la figure. La fente source : un point source décalé parallèlement aux fentes reste à égale distance des deux, et ne change pas $\delta$ ; un décalage selon $x$ translate la figure. La fente source doit donc être parallèle aux fentes d'Young ; elle peut alors être longue, et lumineuse.

2) Dix interfranges. La longueur $10i$ est la différence de deux positions pointées : $u(10i)=\sqrt{2}\times 0,1\approx 0,14\mathrm{mm}$, d'où $u(i)=0,014\mathrm{mm}$. Mesurer un seul interfrange donnerait une incertitude dix fois plus grande, près de $10\%$ de $i\approx 1,6\mathrm{mm}$.

3) La droite et ce qu'elle révèle. Validation : les écarts à la droite (au plus $0,06\mathrm{mm}$) ne dépassent pas l'incertitude de pointé ($0,14\mathrm{mm}$ sur $10i$) : le modèle affine est compatible avec les mesures. L'ordonnée à l'origine : si la distance vraie entre les fentes et l'écran est $D_{\text{vraie}}=D+D_0$, où $D_0$ est le décalage inconnu entre l'index du support et le plan des fentes, alors $$10i=\frac{10\lambda }{a}D+\frac{10\lambda }{a}{D}_0,$$ donc $\alpha =10\lambda /a$ et $\beta =\alpha D_0$. Une ordonnée à l'origine non nulle, ici égale à dix fois son incertitude-type, révèle un décalage systématique sur $D$. Les valeurs : $$a=\frac{10\lambda }{\alpha }=\frac{10\times 632,8\times 10^{-9}}{25,31\times 10^{-3}}=2,500\times 10^{-4}\mathrm{m},\frac{u(a)}{a}=\frac{u(\alpha )}{\alpha }=\frac{0,05}{25,31}=0,2\%,$$ soit $a=(0,2500\pm 0,0005)\mathrm{mm}$. Et $D_0=\beta /\alpha =0,64/25,31\mathrm{m}\approx 2,5\mathrm{cm}$, à $0,3\mathrm{cm}$ près : les fentes sont à $2,5\mathrm{cm}$ de l'index, du côté opposé à l'écran. Point important : la pente ne dépend pas de $D_0$ : le décalage, quel qu'il soit, ne fausse pas $a$.

4) La mesure unique. À $D=0,60\mathrm{m}$, en croyant $D$ exact : $$a=\frac{10\lambda D}{10i}=\frac{10\times 632,8\times 10^{-9}\times 0,60}{15,86\times 10^{-3}}=0,239\mathrm{mm},$$ soit $4\%$ de moins (écart relatif $D_0/(D+D_0)$), avec une incertitude de pointé qui annonce $1\%$ : un résultat faux et faussement précis. Une erreur systématique ne se voit pas sur un point ; elle se voit sur une droite qui ne passe pas par l'origine.

Ce que l'exercice installe. Les fentes d'Young sont un moyen d'avoir de la lumière sans perdre les franges, si la fente source leur est parallèle. Une mesure se conçoit pour séparer ce qu'on cherche (la pente) d'un décalage inconnu (l'ordonnée à l'origine), et se donne avec son incertitude.