Une lame devant un trou : l'ordre translaté et la frange achromatique

La stratégie. La lame remplace, sur le trajet par $S_1$, une épaisseur $e$ d'air par une épaisseur $e$ d'indice $n$ : le chemin optique par $S_1$ augmente de $(n-1)e$, terme constant qui s'ajoute à l'ordre en tout point.

1) La translation. Le chemin optique par $S_1$ s'écrit $(S{S}_{1}M)=S{S}_1+(n-1)e+S_{1}M$, et par $S_2$, $(S{S}_{2}M)=S{S}_2+S_{2}M$. Comme $S{S}_1=S{S}_2$ : $$\delta (x)=(S_{2}M-S_{1}M)-(n-1)e=\frac{ax}{D}-(n-1)e.$$ Les franges brillantes vérifient $\delta =p\lambda$, soit $$x_p=p\frac{\lambda D}{a}+\frac{(n-1)eD}{a}.$$ La figure est translatée de $\Delta x=(n-1)eD/a$ vers les $x>0$, c'est-à-dire du côté du trou couvert, et l'interfrange $\lambda D/a$ est inchangé. Interprétation : à la frange d'ordre $0$, les deux chemins optiques sont égaux ; le retard ajouté par $S_1$ doit être compensé par un trajet $S_{1}M$ plus court, donc par un point plus proche de $S_1$. Le point délicat : la traversée un peu oblique de la lame (angle $\sim 10^{-2}\mathrm{rad}$) modifie $(n-1)e$ d'environ $10^{-4}$ en valeur relative : négligeable.

2) Les valeurs. $$(n-1)e=0,5\times 5,0\mu \mathrm{m}=2,5\mu \mathrm{m}=4,55\lambda ,i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{550\times 10^{-9}\times 1,5}{0,50\times 10^{-3}}=1,65\mathrm{mm},$$ $$\Delta x=\frac{(n-1)eD}{a}=\frac{2,5\times 10^{-6}\times 1,5}{0,50\times 10^{-3}}=7,5\mathrm{mm}=4,55i.$$ L'ordre en $O$ passe de $0$ à $-4,55$.

3) L'ordre ne se lit qu'à un entier près. En lumière monochromatique, toutes les franges brillantes sont identiques. Une figure translatée de $4,55i$ est indiscernable d'une figure translatée de $0,55i$, ou de $-0,45i$ : l'observateur ne mesure que la partie fractionnaire de la translation, $0,55$, et perd la partie entière. Pour la retrouver, il faudrait faire varier le chemin optique continûment (en inclinant progressivement la lame, par exemple) et compter les franges qui défilent devant un repère.

4) La lumière blanche lève l'ambiguïté. Sans lame, en $x=0$, $\delta =0$ pour toutes les longueurs d'onde : toutes les couleurs y ont un maximum, la frange centrale est blanche. De part et d'autre, quelques franges irisées, puis un blanc uniforme (exercice 5). Avec la lame, $\delta =0$ en $x=\Delta x$ pour toutes les longueurs d'onde à la fois, puisque $\Delta x$ ne dépend pas de $\lambda$ (dispersion négligée) : la frange blanche, dite achromatique, se retrouve en $\Delta x$. Elle est unique : elle repère sans ambiguïté le lieu $\delta =0$, partie entière comprise. En pratique, on la localise en lumière blanche, puis on affine en lumière monochromatique.

5) L'épaisseur du mica. De $\Delta x=(n-1)eD/a$ : $$e=\frac{a\Delta x}{(n-1)D}=\frac{0,50\times 10^{-3}\times 12,0\times 10^{-3}}{0,58\times 1,0}=1,03\times 10^{-5}\mathrm{m}=10,3\mu \mathrm{m}.$$ Incertitude : $a$, $D$ et $n$ étant bien connus, $u(e)/e=u(\Delta x)/\Delta x$, soit $u(e)\approx 0,17\mu \mathrm{m}$. Le nombre de franges : à $550\mathrm{nm}$, $(n-1)e/\lambda =6,0/0,55\approx 10,9$ ; en lumière monochromatique, on n'aurait lu que $0,9$, et la mesure aurait été fausse d'un facteur douze. Cas limite : $n\to 1$, aucune translation.

Ce que l'exercice installe. Un chemin optique ajouté sur une voie translate l'ordre, donc la figure, sans changer l'interfrange. En lumière monochromatique, l'ordre ne se lit qu'à un entier près ; la frange achromatique de la lumière blanche donne le zéro. C'est le principe de toute mesure interférentielle d'un petit chemin optique.