Problème — Détermination expérimentale de la constante de temps

Énergie interne et transferts thermiques · niveau 2

Énoncé

Problème — Détermination expérimentale de la constante de temps.

On suit le refroidissement d'un bloc métallique dans l'air. On relève :

$t$ (min)	0	5	10	20	40
$T$ ( $^{\circ} C$ )	90	71	57	39	25

La température de la pièce est $T_{ext} = 2 0^{\circ} C$ .

Justifier que $θ (t) = T (t) - T_{ext}$ suit une loi exponentielle décroissante.
Montrer que $ln θ$ est une fonction affine du temps et exploiter deux points pour estimer $τ$ .
Le bloc a une masse $m = 0, 80 kg$ et $c = 9, 0 \times 1 0^{2} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ . En déduire le produit $h S$ .

Corrigé

D'après la loi de Newton, $T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ}$ , donc $θ (t) = θ_{0} e^{- t / τ}$ avec $θ_{0} = 70 K$ : c'est bien une exponentielle décroissante.
En prenant le logarithme : $ln θ = ln θ_{0} - \frac{t}{τ}$ , fonction affine de $t$ de pente $- 1/ τ$ . À $t = 0$ : $θ = 70 K$ , $ln θ = 4, 25$ . À $t = 40 min$ : $θ = 5 K$ , $ln θ = 1, 61$ . La pente vaut

$- \frac{1}{τ} = \frac{1 , 61 - 4 , 25}{40 - 0} = \frac{- 2 , 64}{40} = - 0, 066 mi n^{- 1},$

d'où $τ \approx 15 min \approx 9, 1 \times 1 0^{2} s$ . (Vérification : à $t = 10 min$ , $θ = 70 e^{- 10/15} = 36 K$ , soit $T = 5 6^{\circ} C$ , proche de la valeur mesurée.)

Comme $τ = \frac{m c}{h S}$ :

$h S = \frac{m c}{τ} = \frac{0 , 80 \times 9 , 0 \times 1 0 ^{2}}{9 , 1 \times 1 0 ^{2}} \approx 0, 79 W \cdot K^{- 1} .$