Problème — Mouvement d'un projectile (chute parabolique)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique-chimie (terminale), chapitre 7 — Lois de Newton et mouvement

Énoncé

Problème — Mouvement d'un projectile (chute parabolique).

Dans un référentiel terrestre galiléen $(O; i, j)$ ( $j$ vers le haut), un projectile de masse $m$ est lancé depuis l'origine $O$ avec une vitesse initiale $v_{0}$ faisant un angle $α$ avec l'horizontale ( $v_{0} = 20 m \cdot s^{- 1}$ , $α = 3 0^{\circ}$ ). On néglige les frottements de l'air. On prend $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Établir le vecteur accélération.
En déduire les équations horaires $v_{x} (t)$ , $v_{y} (t)$ puis $x (t)$ , $y (t)$ .
Déterminer la date du sommet de la trajectoire et la flèche (hauteur maximale).

Corrigé

1. Système : le projectile, de masse $m$ . La seule force est le poids $P = m g$ (chute libre). La deuxième loi de Newton donne :

$m a = m g ⟹ a = g = {a_{x} = 0 a_{y} = - g .$

2. Conditions initiales : $v_{0} = v_{0} cos α i + v_{0} sin α j$ et position initiale $O$ . En intégrant $a$ :

$v_{x} (t) = v_{0} cos α, v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin α .$

En intégrant de nouveau :

$x (t) = (v_{0} cos α) t, y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} sin α) t .$

Numériquement : $v_{0} cos α = 20 \times cos 3 0^{\circ} \approx 17, 3 m \cdot s^{- 1}$ et $v_{0} sin α = 20 \times sin 3 0^{\circ} = 10, 0 m \cdot s^{- 1}$ .

3. Au sommet, la composante verticale de la vitesse s'annule : $v_{y} (t_{S}) = 0$ , soit

$t_{S} = \frac{v _{0} sin α}{g} = \frac{10 , 0}{9 , 81} \approx 1, 0 s .$

La flèche est l'ordonnée à cette date :

$y_{m a x} = - \frac{1}{2} g t_{S}^{2} + (v_{0} sin α) t_{S} = \frac{( v _{0} sin α ) ^{2}}{2 g} = \frac{( 10 , 0 ) ^{2}}{2 \times 9 , 81} \approx 5, 1 m .$

La trajectoire est une parabole, conformément à l'élimination de $t$ entre $x (t)$ et $y (t)$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.