Problème — Équilibre d'une gouttelette chargée (expérience de Millikan)

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 8 — Mouvements dans un champ uniforme

Énoncé

Problème — Équilibre d'une gouttelette chargée (expérience de Millikan).

En 1909, Robert Millikan mesure la charge de l'électron en immobilisant de minuscules gouttelettes d'huile électrisées entre les armatures horizontales d'un condensateur plan. Les armatures sont distantes de $d = 5, 0 mm$ et soumises à une tension $U = 500 V$ , l'armature supérieure étant portée au potentiel le plus élevé : le champ électrique est donc vertical, dirigé vers le bas. Une gouttelette de masse $m = 6, 5 \times 1 0^{- 15} kg$ , électrisée par frottement, reste parfaitement immobile. Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ ; les frottements de l'air sont négligés.

Faire le bilan des forces s'exerçant sur la gouttelette immobile et traduire la condition d'équilibre.
En déduire le signe de la charge portée par la gouttelette.
Calculer la valeur du champ électrique entre les armatures.
Calculer le poids de la gouttelette, puis en déduire la valeur de sa charge $q$ .
Combien d'électrons en excès la gouttelette porte-t-elle ?
On annule brusquement la tension. Décrire le mouvement de la gouttelette et calculer la vitesse atteinte après une chute de $h = 2, 0 mm$ .

Corrigé

1. La gouttelette subit son poids $P = m g$ , vertical vers le bas, et la force électrique $F = q E$ . Elle est immobile : d'après la première loi de Newton, ces deux forces se compensent,

$P + F = 0, soit en valeur ∣ q ∣ E = m g$

2. Pour compenser le poids, $F$ doit être dirigée vers le haut. Le champ $E$ étant dirigé vers le bas, la force est de sens opposé au champ : la charge est négative (la gouttelette a capté des électrons).

3. Le champ entre les armatures vaut :

$E = \frac{U}{d} = \frac{500}{5 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1, 0 \times 1 0^{5} V \cdot m^{- 1}$

4. Le poids vaut :

$P = m g = 6, 5 \times 1 0^{- 15} \times 9, 8 = 6, 4 \times 1 0^{- 14} N$

La condition d'équilibre donne alors :

$∣ q ∣ = \frac{m g}{E} = \frac{6 , 4 \times 1 0 ^{- 14}}{1 , 0 \times 1 0 ^{5}} = 6, 4 \times 1 0^{- 19} C$

5. Le nombre d'électrons en excès est :

$n = \frac{∣ q ∣}{e} = \frac{6 , 4 \times 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} = 4, 0$

La gouttelette porte $4$ électrons en excès. C'est en constatant que toutes les charges mesurées étaient des multiples entiers d'une même valeur que Millikan a établi la quantification de la charge électrique.

6. Sans tension, le champ disparaît : la gouttelette n'est plus soumise qu'à son poids, elle est en chute libre, animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré d'accélération $a = g$ , vers le bas. Partant du repos, $v^{2} = 2 g h$ :

$v = 2 g h = 2 \times 9, 8 \times 2, 0 \times 1 0^{- 3} = 0, 20 m \cdot s^{- 1}$

Ce résultat suppose les frottements de l'air négligés, comme l'indique l'énoncé. En réalité, sur une gouttelette aussi petite, la force de frottement n'est pas du tout négligeable : elle équilibre le poids au bout d'un temps très court et la gouttelette tombe alors à une vitesse limite minuscule (de l'ordre de $1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$ ). C'est précisément cette vitesse limite que Millikan mesurait pour remonter au rayon des gouttelettes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.