Problème — Équilibre d'une gouttelette chargée (expérience de Millikan)

1. La gouttelette subit son poids $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, vertical vers le bas, et la force électrique $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$. Elle est immobile : d'après la première loi de Newton, ces deux forces se compensent,

$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0},\text{soit en valeur}|q|E=mg$$

2. Pour compenser le poids, $\overrightarrow{F}$ doit être dirigée vers le haut. Le champ $\overrightarrow{E}$ étant dirigé vers le bas, la force est de sens opposé au champ : la charge est négative (la gouttelette a capté des électrons).

3. Le champ entre les armatures vaut :

$$E=\frac{U}{d}=\frac{500}{5,0\times 10^{-3}}=1,0\times 10^5\mathrm{V}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$$

4. Le poids vaut :

$$P=mg=6,5\times 10^{-15}\times 9,8=6,4\times 10^{-14}\mathrm{N}$$

La condition d'équilibre donne alors :

$$|q|=\frac{mg}{E}=\frac{6,4\times 10^{-14}}{1,0\times 10^5}=6,4\times 10^{-19}\mathrm{C}$$

5. Le nombre d'électrons en excès est :

$$n=\frac{|q|}{e}=\frac{6,4\times 10^{-19}}{1,6\times 10^{-19}}=4,0$$

La gouttelette porte $4$ électrons en excès. C'est en constatant que toutes les charges mesurées étaient des multiples entiers d'une même valeur que Millikan a établi la quantification de la charge électrique.

6. Sans tension, le champ disparaît : la gouttelette n'est plus soumise qu'à son poids, elle est en chute libre, animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré d'accélération $a=g$, vers le bas. Partant du repos, $v^2=2gh$ :

$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9,8\times 2,0\times 10^{-3}}=0,20\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

Ce résultat suppose les frottements de l'air négligés, comme l'indique l'énoncé. En réalité, sur une gouttelette aussi petite, la force de frottement n'est pas du tout négligeable : elle équilibre le poids au bout d'un temps très court et la gouttelette tombe alors à une vitesse limite minuscule (de l'ordre de $10^{-4}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$). C'est précisément cette vitesse limite que Millikan mesurait pour remonter au rayon des gouttelettes.