Problème — Détermination de la masse de Jupiter

Exercice de TD · niveau 2 · physique-chimie (terminale), chapitre 9 — Mouvement circulaire et gravitation

Énoncé

Problème — Détermination de la masse de Jupiter.

La sonde mesure que la lune Ganymède décrit autour de Jupiter une orbite quasi circulaire de rayon $r = 1, 07 \times 1 0^{9} m$ avec une période $T = 6, 18 \times 1 0^{5} s$ .

En appliquant la deuxième loi de Newton à Ganymède, établir la relation entre $T$ , $r$ , $G$ et la masse $M_{J}$ de Jupiter.
En déduire l'expression puis la valeur de $M_{J}$ .
La masse du Soleil étant $M_{S} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ , comparer $M_{J}$ à $M_{S}$ .

Corrigé

Système \{Ganymède\}, référentiel jovicentrique galiléen, seule force : l'attraction de Jupiter. La 2<sup>e</sup> loi de Newton donne $G \frac{M _{J}}{r ^{2}} = \frac{v ^{2}}{r}$ avec $v = \frac{2 π r}{T}$ , soit :

$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{J}} .$

On en tire :

$M_{J} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}} = \frac{4 π ^{2} \times ( 1 , 07 \times 1 0 ^{9} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 6 , 18 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}} \approx 1, 9 \times 1 0^{27} kg .$

Le rapport vaut $\frac{M _{J}}{M _{S}} = \frac{1 , 9 \times 1 0 ^{27}}{2 , 0 \times 1 0 ^{30}} \approx 9, 5 \times 1 0^{- 4}$ : Jupiter, bien que la plus grosse planète du Système solaire, est environ mille fois moins massive que le Soleil.

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