Problème — Le test de la Lune de Newton

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 9 — Mouvement circulaire et gravitation

Énoncé

Problème — Le test de la Lune de Newton.

Pour établir que la force qui fait tomber une pomme est celle qui retient la Lune, Newton compare le champ de gravitation terrestre à la surface du globe et à la distance de la Lune. On assimile l'orbite lunaire à un cercle de rayon $d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , décrit à vitesse constante dans le référentiel géocentrique. Données : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot k g^{- 2}$ , $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ , champ de pesanteur à la surface $g_{0} = 9, 8 N \cdot k g^{- 1}$ , période de révolution observée de la Lune : $27, 3$ jours.

Calculer la valeur $G$ du champ de gravitation terrestre à la distance de la Lune.
Calculer le rapport $\frac{g _{0}}{G}$ et le comparer à $(\frac{d}{R _{T}})^{2}$ . Que vérifie-t-on ainsi ?
En appliquant la deuxième loi de Newton à la Lune, donner la valeur, la direction et le sens de son accélération.
Établir l'expression de la vitesse de la Lune sur son orbite, puis la calculer.
En déduire la période de révolution de la Lune, en jours, et la comparer à la valeur observée.

Corrigé

1. Le champ de gravitation créé par la Terre à la distance $d$ de son centre vaut :

$G = G \frac{M _{T}}{d ^{2}} = 6, 67 \times 1 0^{- 11} \times \frac{5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{( 3 , 84 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2, 70 \times 1 0^{- 3} N \cdot k g^{- 1}$

2. Le rapport des deux champs vaut :

$\frac{g _{0}}{G} = \frac{9 , 8}{2 , 70 \times 1 0 ^{- 3}} = 3, 6 \times 1 0^{3}$

tandis que

$(\frac{d}{R _{T}})^{2} = (\frac{3 , 84 \times 1 0 ^{8}}{6 , 37 \times 1 0 ^{6}})^{2} = (60, 3)^{2} = 3, 6 \times 1 0^{3}$

Les deux nombres coïncident : on vérifie que le champ de gravitation décroît comme l'inverse du carré de la distance au centre de la Terre.

3. Système : la Lune, de masse $m_{L}$ , dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. La seule force prise en compte est l'attraction terrestre, de valeur $F = m_{L} G$ , dirigée vers le centre de la Terre. La deuxième loi de Newton $F = m_{L} a$ donne alors

$a = G = 2, 70 \times 1 0^{- 3} m \cdot s^{- 2}$

L'accélération est portée par la droite Terre--Lune et dirigée vers la Terre : elle est centripète. Sa valeur ne dépend pas de la masse de la Lune.

4. Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $d$ , l'accélération est centripète et vaut $a = \frac{v ^{2}}{d}$ . En l'identifiant à $G \frac{M _{T}}{d ^{2}}$ :

$\frac{v ^{2}}{d} = G \frac{M _{T}}{d ^{2}} ⟹ v = \frac{G M _{T}}{d}$

$v = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} = 1, 02 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1}$

5. La période est la durée d'un tour :

$T = \frac{2 π d}{v} = \frac{2 π \times 3 , 84 \times 1 0 ^{8}}{1 , 02 \times 1 0 ^{3}} = 2, 37 \times 1 0^{6} s$

soit, en jours,

$T = \frac{2 , 37 \times 1 0 ^{6}}{86 400} = 27, 4 jours$

La valeur observée étant de $27, 3$ jours, l'écart est inférieur à $1%$ : une seule et même loi de gravitation rend compte de la chute des corps à la surface de la Terre et du mouvement de la Lune.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.