Problème — Le test de la Lune de Newton

1. Le champ de gravitation créé par la Terre à la distance $d$ de son centre vaut :

$$\mathcal{G}=G\frac{M_T}{d^2}=6,67\times 10^{-11}\times \frac{5,97\times 10^{24}}{(3,84\times 10^8{)}^2}=2,70\times 10^{-3}\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$$

2. Le rapport des deux champs vaut :

$$\frac{g_0}{\mathcal{G}}=\frac{9,8}{2,70\times 10^{-3}}=3,6\times 10^3$$

tandis que

$${\left(\frac{d}{R_T}\right)}^2={\left(\frac{3,84\times 10^8}{6,37\times 10^6}\right)}^2=(60,3{)}^2=3,6\times 10^3$$

Les deux nombres coïncident : on vérifie que le champ de gravitation décroît comme l'inverse du carré de la distance au centre de la Terre.

3. Système : la Lune, de masse $m_L$, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. La seule force prise en compte est l'attraction terrestre, de valeur $F=m_L\mathcal{G}$, dirigée vers le centre de la Terre. La deuxième loi de Newton $\overrightarrow{F}=m_L\overrightarrow{a}$ donne alors

$$a=\mathcal{G}=2,70\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$$

L'accélération est portée par la droite Terre--Lune et dirigée vers la Terre : elle est centripète. Sa valeur ne dépend pas de la masse de la Lune.

4. Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $d$, l'accélération est centripète et vaut $a=\frac{v^2}{d}$. En l'identifiant à $G\frac{M_T}{d^2}$ :

$$\frac{v^2}{d}=G\frac{M_T}{d^2}⟹v=\sqrt{\frac{G{M}_T}{d}}$$

$$v=\sqrt{\frac{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}}{3,84\times 10^8}}=1,02\times 10^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

5. La période est la durée d'un tour :

$$T=\frac{2\pi d}{v}=\frac{2\pi \times 3,84\times 10^8}{1,02\times 10^3}=2,37\times 10^6\mathrm{s}$$

soit, en jours,

$$T=\frac{2,37\times 10^6}{86400}=27,4\mathrm{jours}$$

La valeur observée étant de $27,3$ jours, l'écart est inférieur à $1\%$ : une seule et même loi de gravitation rend compte de la chute des corps à la surface de la Terre et du mouvement de la Lune.