Battements : une phase qui dérive

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion · C. Déphasage entre deux points

Énoncé

Deux sources émettent simultanément des sons de même amplitude et de fréquences voisines $f_{1}$ et $f_{2}$ ; en un point, on reçoit $s_{1} (t) = A cos (2 π f_{1} t)$ et $s_{2} (t) = A cos (2 π f_{2} t)$ .

1) On définit le déphasage instantané $ΔΦ (t)$ de $s_{1}$ sur $s_{2}$ . Montrer qu'il dérive linéairement avec le temps. À quels instants les deux signaux sont-ils en phase ? en opposition de phase ? Que vaut alors l'amplitude de la somme ?

2) Montrer que $s_{1} + s_{2} = 2 A cos (π (f_{1} - f_{2}) t) cos (π (f_{1} + f_{2}) t),$ et interpréter. Quelle est la période des variations d'intensité perçues ?

3) Un musicien accorde une corde sur un diapason de $f_{0} = 440$ Hz : joués ensemble, les deux sons « faiblissent et reforcissent » quatre fois par seconde. Quelles sont les fréquences possibles de la corde ? Il tend légèrement la corde, ce qui augmente sa fréquence, et le battement s'accélère. Que vaut la fréquence de la corde, et que doit-il faire ?

4) L'oreille distingue la hauteur de deux sons successifs à partir d'un écart relatif de l'ordre de 0,2 à 0,5 % (seuil différentiel usuel vers 440 Hz). Quelle est la période des battements pour un écart relatif de 0,05 % à 440 Hz ? Expliquer pourquoi les musiciens accordent « aux battements ».

Corrigé

La stratégie. Deux sinusoïdes de même fréquence ont un déphasage constant ; deux sinusoïdes de fréquences différentes ont un déphasage qui change avec le temps. Les battements ne sont rien d'autre que le passage périodique, au rythme de cette dérive, de « en phase » à « en opposition ».

1) La dérive du déphasage. Les phases sont $Φ_{1} = 2 π f_{1} t$ et $Φ_{2} = 2 π f_{2} t$ , donc $ΔΦ (t) = Φ_{1} - Φ_{2} = 2 π (f_{1} - f_{2}) t :$ le déphasage croît (ou décroît) linéairement, d'un tour toutes les $1/∣ f_{1} - f_{2} ∣$ . Les signaux sont en phase quand $ΔΦ$ est un multiple de $2 π$ , c'est-à-dire aux instants $t_{n} = n /∣ f_{1} - f_{2} ∣$ : leurs crêtes coïncident, et la somme oscille avec l'amplitude $2 A$ . Ils sont en opposition à mi-chemin, quand $ΔΦ$ est un multiple impair de $π$ : les crêtes de l'un tombent sur les creux de l'autre, et la somme est quasi nulle. Sur une durée de quelques périodes, chaque instant ressemble à la somme de deux signaux de même fréquence avec un déphasage figé ; c'est ce déphasage qui, lentement, tourne.

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