Eau profonde, eau peu profonde

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion · E. Milieux dispersifs

Énoncé

On admet les deux lois suivantes pour les vagues de pulsation $ω$ à la surface d'une eau de profondeur $h$ ( $g = 9, 81 m s^{- 2}$ ) :

en eau profonde ( $h$ supérieure à environ $λ /2$ ), la vitesse de phase vaut $v_{φ} = \frac{g}{ω}$ ;
en eau peu profonde ( $h$ inférieure à environ $λ /20$ ), elle vaut $v_{φ} = g h$ .

1) Lequel de ces deux régimes est dispersif ? En eau profonde, exprimer $v_{φ}$ et $λ$ en fonction de la période $T$ , et les calculer pour une houle de période 10 s, puis 15 s.

2) En $x = 0$ , un batteur impose à la surface le signal $s (0, t) = A cos (ω t) + B cos (2 ω t)$ , somme de deux sinusoïdes. En eau profonde, écrire $s (x, t)$ . On note $λ_{1}$ la longueur d'onde de la composante de pulsation $ω$ . Montrer que la forme du signal enregistré en $x$ est identique à celle du signal en $x = 0$ si et seulement si $x$ est un multiple de $λ_{1} /2$ . Que se passe-t-il pour $x = λ_{1} /4$ ?

3) Même question en eau peu profonde.

4) Le script ci-dessous calcule, pour $T = 10$ s, $A = 1$ , $B = 0, 5$ et $h = 2$ m, le maximum et le minimum du signal sur une période en quatre points de l'axe, dans les deux régimes. Interpréter ses résultats.

5) Un séisme sous-marin soulève brutalement la surface d'un océan de profondeur $h = 4000$ m : la vague (le tsunami) a une période de l'ordre de 20 minutes. Calculer sa vitesse et sa longueur d'onde en supposant l'eau peu profonde, et vérifier que l'hypothèse est cohérente. Combien de temps met-il à atteindre une côte située à 3600 km ? Pourquoi ce calcul de temps d'arrivée est-il légitime ici, alors qu'on ne pourrait pas faire le même pour une houle en eau profonde ?

Corrigé

La stratégie. Un milieu est dispersif si la vitesse de phase dépend de la fréquence. Les conséquences se voient dès qu'un signal contient deux fréquences : chacune se propage sans déformation à sa propre vitesse, et c'est leur décalage mutuel qui déforme la somme.

1) Le régime dispersif. En eau profonde, $v_{φ} = g / ω$ dépend de $ω$ : le milieu est dispersif. En eau peu profonde, $v_{φ} = g h$ ne dépend que de la profondeur : non dispersif. En eau profonde, avec $ω = 2 π / T$ : $v_{φ} = \frac{g T}{2 π}, λ = v_{φ} T = \frac{g T ^{2}}{2 π} .$ Pour $T = 10$ s : $v_{φ} = 15, 6 m s^{- 1}$ et $λ = 156$ m ; pour $T = 15$ s : $v_{φ} = 23, 4 m s^{- 1}$ et $λ = 351$ m. Les houles longues vont plus vite que les courtes. Homogénéité : $g / ω$ est en $m s^{- 2} \times s = m s^{- 1}$ .

2) Le signal à deux composantes en eau profonde. Chaque composante se propage à sa propre vitesse de phase : $v_{1} = g / ω$ pour la pulsation $ω$ , $v_{2} = g / (2 ω) = v_{1} /2$ pour la pulsation $2 ω$ . Les nombres d'onde valent $k_{1} = ω / v_{1} = ω^{2} / g$ et $k_{2} = 2 ω / v_{2} = 4 ω^{2} / g = 4 k_{1}$ . Donc $s (x, t) = A cos (ω t - k_{1} x) + B cos (2 ω t - 4 k_{1} x) .$ Écrivons le second terme en faisant apparaître le retard de la première composante : $2 ω t - 4 k_{1} x = 2 (ω t - k_{1} x) - 2 k_{1} x$ . Ainsi $s (x, t) = A cos (ω (t - τ_{1})) + B cos (2 ω (t - τ_{1}) - 2 k_{1} x), τ_{1} = \frac{x}{v _{1}} .$ Le signal en $x$ est le signal de départ retardé de $τ_{1}$ , à ceci près que la seconde composante a pris un déphasage supplémentaire $- 2 k_{1} x$ par rapport à la première. La forme est identique si et seulement si ce déphasage est un multiple de $2 π$ : $2 k_{1} x = 2 π n$ , soit $x = nπ / k_{1} = n λ_{1} /2$ . Pour $x = λ_{1} /4$ , le déphasage supplémentaire vaut $π$ : la composante $2 ω$ a changé de signe, et le signal devient $A cos θ - B cos 2 θ$ (avec $θ = ω (t - τ_{1})$ ) : là où il y avait des crêtes pointues et des creux aplatis, on trouve des crêtes aplaties et des creux pointus. La vague s'est retournée.

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