Échographie : choisir sa fréquence

Une sonde d'échographie émet des ultrasons dans les tissus mous, où leur célérité est $c=1540\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, quelle que soit la fréquence. On admet qu'on ne distingue pas des détails plus petits que la longueur d'onde. Les tissus atténuent l'onde : l'intensité perd $\alpha f$ décibels par centimètre parcouru, avec $\alpha =0,5\mathrm{dB}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}\mathrm{MH}{\mathrm{z}}^{-1}$ (on rappelle qu'une perte de 10 dB divise l'intensité par 10). L'électronique de l'appareil compense au plus une atténuation totale de 60 dB sur l'aller-retour.

1) Quelle serait la longueur d'onde d'un son audible de 1 kHz dans les tissus ? Pourquoi l'échographie utilise-t-elle des fréquences de l'ordre du mégahertz ? Situer ces fréquences sur l'échelle des ordres de grandeur acoustiques (infrasons, audible, ultrasons).

2) Calculer la longueur d'onde à 3,5 MHz et à 10 MHz.

3) Montrer que la profondeur maximale explorable vaut $d_{\max }=\frac{60\mathrm{dB}}{2\alpha f}$. La calculer aux deux fréquences.

4) Quelle fréquence choisir pour observer un fœtus à 12 cm de profondeur ? Une thyroïde à 2 cm ? Exprimer le compromis en une phrase.

5) Pourquoi est-il essentiel, pour reconstruire une image, que les tissus soient non dispersifs ? Quelle célérité un appareil suppose-t-il pour convertir un temps en profondeur ? Quel est le retard de l'écho d'un organe situé à 12 cm ?