L'ionosphère : un milieu dispersif où la vitesse de phase dépasse c

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion · E. Milieux dispersifs

Énoncé

Au-dessus de 100 km d'altitude, le rayonnement solaire ionise l'air : c'est l'ionosphère. On admet que, pour une onde électromagnétique de fréquence $f$ supérieure à une fréquence caractéristique $f_{p}$ , la vitesse de phase y vaut $v_{φ} = \frac{c}{1 - f _{p}^{2} / f ^{2}},$ et qu'une onde de fréquence inférieure à $f_{p}$ ne peut pas s'y propager : elle est réfléchie. De jour, $f_{p} \approx 9, 0$ MHz ; de nuit, $f_{p} \approx 3$ MHz.

1) L'ionosphère est-elle un milieu dispersif ? Pour quelles fréquences se comporte-t-elle pratiquement comme le vide ?

2) Calculer $v_{φ} / c$ et la longueur d'onde dans l'ionosphère (de jour) pour $f = 100$ MHz (radio FM), $10$ MHz (ondes courtes) et $1, 5$ GHz (GPS). Comparer aux longueurs d'onde dans le vide.

3) Une station émet à 1 MHz (radio AM). Expliquer qu'on puisse la capter bien au-delà de l'horizon. Pourquoi communique-t-on avec les satellites en GHz ? Que devient une émission à 5 MHz entre le jour et la nuit ?

4) Pour $f > f_{p}$ , $v_{φ} > c$ . Est-ce en contradiction avec l'impossibilité de transmettre une information plus vite que la lumière ? (Penser à ce que transporte une sinusoïde qui existe depuis toujours et pour toujours ; comparer à la tache lumineuse d'un phare tournant projetée sur un écran très lointain.)

5) Le signal GPS ( $f = 1, 5$ GHz) traverse une couche ionosphérique d'épaisseur équivalente $L = 300$ km (de jour). Montrer que la phase reçue est celle qu'aurait donnée dans le vide un trajet plus court de $L (1 - 1 - f_{p}^{2} / f^{2}) \approx L \frac{f _{p}^{2}}{2 f ^{2}}$ . Calculer cet écart et commenter pour un système qui prétend au mètre.

Corrigé

La stratégie. La loi est donnée : on l'exploite pour classer les fréquences par rapport à $f_{p}$ , la seule échelle du problème. Puis on traite la question conceptuelle — une vitesse supérieure à $c$ — en se demandant ce que transporte réellement une sinusoïde.

1) Un milieu dispersif. $v_{φ}$ dépend de $f$ : l'ionosphère est dispersive. Elle l'est fortement près de $f_{p}$ , où $v_{φ}$ diverge. Pour $f ≫ f_{p}$ , $f_{p}^{2} / f^{2} ≪ 1$ et $v_{φ} \approx c$ : elle se comporte comme le vide, pratiquement non dispersive. Le critère est le rapport $f_{p} / f$ , sans dimension.

2) Les valeurs. Avec $f_{p} = 9, 0$ MHz :

Fréquence	$v_{φ} / c$	$λ$ dans l'ionosphère	$λ$ dans le vide
100 MHz	$1, 0041$	$3, 01$ m	$3, 00$ m
10 MHz	$2, 29$	$68, 8$ m	$30, 0$ m
1,5 GHz	$1, 000018$	$0, 200$ m	$0, 200$ m

La radio FM et le GPS traversent un milieu presque identique au vide ; les ondes courtes à 10 MHz, juste au-dessus de $f_{p}$ , y ont une longueur d'onde plus que doublée.

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