La houle annonce la tempête

Exercice · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion

Énoncé

En eau profonde, les vagues sont dispersives : leur vitesse de phase dépend de la période selon $v_{φ} = \frac{g T}{2 π}$ (avec $g = 9.81 m / s^{2}$ ). Une tempête éclate à $d = 2000 km$ d'une plage et engendre des vagues de toutes périodes.

Calculer la vitesse des houles de période $T_{1} = 15 s$ et $T_{2} = 10 s$ .

En déduire leur temps d'arrivée sur la plage. Laquelle arrive en premier ?

Expliquer pourquoi les surfeurs savent qu'une grosse houle « longue » annonce une tempête lointaine plusieurs heures à l'avance.

Corrigé

1. $v_{φ} = \frac{g T}{2 π}$ : pour $T_{1} = 15 s$ , $v_{1} = \frac{9 , 81 \times 15}{2 π} \approx 23.4 m / s$ ; pour $T_{2} = 10 s$ , $v_{2} \approx 15.6 m / s$ .

2. $t = d / v$ avec $d = 2.0 \times 1 0^{6} m$ : $t_{1} \approx \frac{2 , 0 \times 1 0 ^{6}}{23 , 4} \approx 8.5 \times 1 0^{4} s \approx 24 h$ ; $t_{2} \approx 1.3 \times 1 0^{5} s \approx 36 h$ . Les vagues longues ( $T_{1}$ ) arrivent en premier, $\approx 12 h$ avant.

3. La mer trie les vagues par période (dispersion) : l'arrivée d'une houle longue et régulière signale qu'une tempête lointaine s'est déjà déchaînée, bien avant les vagues courtes et le mauvais temps. La dispersion sert ici de système d'alerte.

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