Le télémètre à déphasage

Un distancemètre de géomètre émet un faisceau laser (${\lambda }_0=633$ nm) dont l'intensité est modulée sinusoïdalement à la fréquence $f_m$. Le faisceau se réfléchit sur un prisme placé à la distance $D$ et revient sur l'appareil, qui mesure le déphasage $\phi$, compris entre $0$ et $360^{\circ }$, entre la modulation reçue et la modulation émise, avec une résolution $\delta \phi =0,36^{\circ }$. On prend d'abord $c=3,00\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ dans l'air.

1) Quelle est la fréquence de l'onde lumineuse elle-même ? Pourquoi mesure-t-on la phase de la modulation et non celle de la lumière ?

2) Montrer que $\phi$ est égal, à un multiple de $360^{\circ }$ près, à $360^{\circ }\times \frac{2D}{c/f_m}$. En déduire qu'une mesure de phase ne fixe $D$ qu'à un multiple près de $\Lambda =\frac{c}{2f_m}$, et avec une incertitude $\delta D=\frac{\delta \phi }{360^{\circ }}\Lambda$.

3) Calculer $\Lambda$ et $\delta D$ pour $f_1=15,0$ MHz, puis pour $f_2=150$ kHz. Quelle fréquence est précise ? Laquelle est sans ambiguïté sur un chantier de 1 km ?

4) Pour un même prisme, l'appareil affiche ${\phi }_1=274,3^{\circ }$ à $f_1$ et ${\phi }_2=157,5^{\circ }$ à $f_2$. Déterminer $D$.

5) En réalité la lumière se propage dans l'air à $c/n$ avec $n=1,00030$. De combien la distance de la question 4 est-elle surestimée ? Pourquoi ces appareils demandent-ils la température et la pression ?