Problème : mesurer la célérité du son par la méthode de Lissajous

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion · C. Déphasage entre deux points

Énoncé

Un haut-parleur est alimenté par un générateur à la fréquence $f = 1000$ Hz. Un microphone fixe $M_{1}$ , branché sur la voie X d'un oscilloscope, et un microphone mobile $M_{2}$ , branché sur la voie Y et déplacé le long d'un banc gradué, sont alignés avec la source, $M_{2}$ plus loin que $M_{1}$ . L'air est à 20 °C. En mode XY, le spot de l'oscilloscope a pour abscisse la tension $u_{1}$ et pour ordonnée la tension $u_{2}$ .

1) Justifier qu'on puisse écrire $u_{1} = U_{1} cos (ω t)$ et $u_{2} = U_{2} cos (ω t - φ)$ , et relier $φ$ à la distance $d = M_{1} M_{2}$ et à $λ$ .

2) Montrer que le point $(x, y) = (u_{1}, u_{2})$ décrit la courbe d'équation $(\frac{x}{U _{1}})^{2} + (\frac{y}{U _{2}})^{2} - 2 \frac{x}{U _{1}} \frac{y}{U _{2}} cos φ = sin^{2} φ,$ qui est une ellipse. Décrire la figure pour $φ = 0$ , $φ = π$ et $φ = π /2$ .

3) Lecture d'un déphasage. L'ellipse coupe l'axe vertical en $y = \pm y_{0}$ . Montrer que $∣ sin φ ∣ = y_{0} / U_{2}$ . Application : $U_{2} = 2, 0$ divisions, $y_{0} = 1, 2$ division, grand axe dans le premier quadrant. Déterminer $φ$ entre $0$ et $π$ . Pourquoi l'écran ne permet-il pas de savoir si $u_{2}$ est en retard ou en avance ?

4) Protocole. On note les positions de $M_{2}$ sur le banc pour lesquelles l'écran montre une droite de pente positive : $12, 0$ ; $46, 5$ ; $80, 4$ ; $115, 0$ ; $149, 1$ cm (lectures à $\pm 0, 2$ cm près). En déduire $λ$ par régression linéaire, puis $c$ avec son incertitude. Pourquoi exploiter les quatre intervalles plutôt qu'un seul ?

5) On recommence à 500, 2000 et 4000 Hz et l'on trouve $λ = 68, 7$ ; $17, 1$ ; $8, 6$ cm (chacune à environ $0, 1$ cm près). L'air est-il dispersif dans le domaine audible ? Relier à l'expérience quotidienne d'un orchestre entendu de loin.

6) Ordre de grandeur. On admet $c = c_{0} T / T_{0}$ avec $c_{0} = 331 m s^{- 1}$ et $T_{0} = 273, 15$ K. Quelle valeur attend-on à 20 °C ? Avec quelle précision faut-il connaître la température pour que la thermométrie ne limite pas la mesure de la question 4 ?

Corrigé

1) Les deux tensions. Les microphones convertissent la surpression en tension, sans déphasage propre si l'on suppose les deux micros identiques. En $M_{1}$ , on choisit l'origine des temps pour que $u_{1} = U_{1} cos ω t$ . L'onde arrive en $M_{2}$ avec le retard $d / c$ : par l'exercice 3, $u_{2} = U_{2} cos (ω t - φ)$ avec $φ = ω \frac{d}{c} = \frac{2 π d}{λ} .$ Les amplitudes diffèrent ( $M_{2}$ , plus loin, reçoit moins) mais cela n'affecte pas la phase.

2) L'ellipse. Posons $X = x / U_{1} = cos ω t$ et $Y = y / U_{2} = cos (ω t - φ) = cos ω t cos φ + sin ω t sin φ$ . Alors $Y - X cos φ = sin ω t sin φ$ . Élevons au carré et utilisons $sin^{2} ω t = 1 - X^{2}$ : $Y^{2} - 2 X Y cos φ + X^{2} cos^{2} φ = (1 - X^{2}) sin^{2} φ, d’o u ˋ X^{2} + Y^{2} - 2 X Y cos φ = sin^{2} φ,$ puisque $cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1$ . C'est une courbe fermée, bornée ( $∣ X ∣ \leq 1$ , $∣ Y ∣ \leq 1$ ), d'équation du second degré : une ellipse inscrite dans le rectangle $[- U_{1}, U_{1}] \times [- U_{2}, U_{2}]$ . Pour $φ = 0$ : $(X - Y)^{2} = 0$ , le segment $Y = X$ , une droite de pente positive $U_{2} / U_{1}$ ; pour $φ = π$ : $(X + Y)^{2} = 0$ , une droite de pente négative ; pour $φ = π /2$ : $X^{2} + Y^{2} = 1$ , une ellipse d'axes portés par les axes de l'écran (un cercle si $U_{1}$ et $U_{2}$ occupent le même nombre de divisions). Ce n'est pas une superposition d'ondes : les deux signaux sont envoyés sur deux voies perpendiculaires, et l'ellipse est une construction géométrique.

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