Qui est en avance ? Lire un déphasage signé

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 2 — Ondes progressives sinusoïdales et dispersion · C. Déphasage entre deux points

Énoncé

Un haut-parleur émet un son sinusoïdal de fréquence $f = 2, 00$ kHz dans l'air ( $c = 340 m s^{- 1}$ ). Deux microphones $M_{1}$ et $M_{2}$ sont placés sur l'axe du haut-parleur, $M_{2}$ plus loin que $M_{1}$ , à une distance $Δ x$ que l'on estime grossièrement, à la règle, à « une vingtaine de centimètres ». À l'oscilloscope, chaque crête de la voie 2 ( $M_{2}$ ) apparaît $0, 15$ ms après une crête de la voie 1 ( $M_{1}$ ).

1) Montrer que le signal de $M_{2}$ est en retard sur celui de $M_{1}$ , et que le déphasage vaut $ΔΦ = ω τ = 2 π Δ x / λ$ , où $τ = Δ x / c$ .

2) Calculer $T$ et $λ$ . Pourquoi le décalage lu à l'écran ne donne-t-il le retard qu'à un multiple de $T$ près ? Dresser la liste des distances compatibles avec la lecture, choisir la bonne grâce à l'estimation à la règle, et donner le retard réel et le déphasage réel.

3) Un camarade lit le même écran autrement : « la voie 2 est en avance de $0, 35$ ms ». A-t-il tort ? Quelle information l'écran contient-il exactement ?

4) Proposer un protocole qui détermine $Δ x$ sans ambiguïté à partir de l'oscilloscope.

5) Pour quelles distances $Δ x$ les deux signaux sont-ils en phase ? en opposition de phase ? en quadrature (on distinguera « $M_{2}$ en retard d'un quart de période » et « $M_{2}$ en avance d'un quart de période ») ? Deux points distants de $1, 2$ m sur le trajet d'une onde de longueur d'onde $0, 80$ m sont-ils en phase, en opposition, ou autre ?

Corrigé

La stratégie. Le retard de propagation est une donnée physique sans ambiguïté ; le déphasage lu sur un écran ne l'est pas, parce qu'une sinusoïde est identique à elle-même décalée d'une période. On établit d'abord le lien exact, puis on le lit modulo $2 π$ , et l'on cherche une information extérieure pour lever l'ambiguïté.

1) Le retard et le déphasage. L'onde s'écrit $s (x, t) = A cos (ω t - k x)$ (on néglige l'affaiblissement avec la distance, qui ne change pas les phases). En $M_{1}$ et en $M_{2} = M_{1} + Δ x$ : $s_{2} (t) = A cos (ω t - k x_{1} - k Δ x) = A cos (ω (t - τ) - k x_{1}) = s_{1} (t - τ), τ = \frac{k Δ x}{ω} = \frac{Δ x}{c} .$ Le signal de $M_{2}$ est celui de $M_{1}$ retardé de $τ$ : l'onde arrive plus tard au micro le plus éloigné. La phase de $M_{1}$ dépasse celle de $M_{2}$ de $ΔΦ = k Δ x = ω τ = 2 π Δ x / λ$ . Un retard d'une période correspond à un tour, $2 π$ .

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