Combien de zones de silence ?

Deux haut-parleurs $S_1$ et $S_2$, distants de $d=1,50\mathrm{m}$, alimentés en phase, émettent le même son pur de fréquence $f=850\mathrm{Hz}$ ; $c=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. On néglige la décroissance de l'amplitude avec la distance, et l'on note $\delta =S_{2}M-S_{1}M$ la différence de marche en un point $M$ du plan horizontal contenant les deux haut-parleurs.

1) Calculer la longueur d'onde. En un point situé à $4,00\mathrm{m}$ de $S_1$ et $4,60\mathrm{m}$ de $S_2$, qu'entend-on ?

2) On rappelle que l'ensemble des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes est une constante non nulle, strictement inférieure à la distance entre ces points, est une branche d'hyperbole de foyers ces deux points. Décrire les lignes de silence. Montrer que $|\delta |\le d$, et en déduire leur nombre. En dessous de quelle fréquence n'y a-t-il aucune ligne de silence ? Combien y en a-t-il à $680\mathrm{Hz}$ ?

3) On marche le long d'une droite parallèle à $S_1{S}_2$, à la distance $L=10\mathrm{m}$. On repère le promeneur par son abscisse $y$ comptée depuis la médiatrice de $S_1{S}_2$, positivement du côté de $S_1$. En utilisant $S_2{M}^2-S_1{M}^2$, montrer que la ligne de silence de différence de marche $t_n=(n+\frac{1}{2})\lambda$ est croisée en $$y_n=\frac{t_n}{2}\sqrt{1+\frac{4L^2}{d^2-t_n^2}}.$$ Calculer les positions des silences. Les comparer à l'approximation $\delta \approx dy/L$, valable près de l'axe. Combien de silences croise-t-on en marchant indéfiniment ?

4) Que deviennent les zones de silence si l'on augmente la fréquence ?