Deux haut-parleurs pilotés : orienter un faisceau

Deux petits haut-parleurs $S_1$ et $S_2$, distants de $d$, émettent un son de même fréquence $f$ ($c=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$). On observe en un point $M$ très éloigné ($OM=r\gg d$, $O$ milieu de $S_1{S}_2$), dans la direction faisant l'angle $\theta$ avec la médiatrice de $S_1{S}_2$, compté positivement du côté de $S_1$. Le haut-parleur $S_1$ peut être alimenté avec un retard électronique ${\tau }_0$ par rapport à $S_2$ : si $S_2$ émet $A\cos (\omega t)$, $S_1$ émet $A\cos (\omega (t-{\tau }_0))$.

1) Établir, pour $r\gg d$, la différence de marche $\delta =S_{2}M-S_{1}M\simeq d\sin \theta$.

2) Sans retard (${\tau }_0=0$) : donner les directions des maxima et des minima d'intensité. Cas $f=1700\mathrm{Hz}$ et $d=0,10\mathrm{m}$ : combien de maxima ? Cas $d=0,40\mathrm{m}$ : directions des maxima et des minima.

3) Avec le retard ${\tau }_0$ : exprimer le déphasage total entre les deux ondes en $M$ ; montrer que le maximum central est dans la direction ${\theta }_0$ telle que $\sin {\theta }_0=c{\tau }_0/d$. Interpréter. Valeur de ${\tau }_0$ pour ${\theta }_0=30^{\circ }$ avec $d=0,10\mathrm{m}$. Ce réglage dépend-il de la fréquence ?

4) Un appareil plus simple impose un déphasage fixe ${\phi }_0$ (au lieu d'un retard), réglé pour envoyer le maximum central à $30^{\circ }$ à $1700\mathrm{Hz}$. Dans quelle direction part-il à $850\mathrm{Hz}$, à $3400\mathrm{Hz}$ ? Pourquoi les systèmes de sonorisation de concert utilisent-ils des retards ?

5) Les radars à balayage électronique appliquent la même idée à des ondes électromagnétiques de longueur d'onde centimétrique, avec des centaines d'émetteurs. Pourquoi le faisceau peut-il y être réorienté sans aucune pièce mobile ?