Deux sinusoïdes d'amplitudes différentes

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 3 — Interférences · A. Superposition de deux ondes de même fréquence

Énoncé

En un point $M$ se superposent deux signaux de même pulsation $ω$ : $s_{1} (t) = A_{1} cos (ω t)$ et $s_{2} (t) = A_{2} cos (ω t - Δ φ)$ , avec $A_{1} \geq A_{2} > 0$ .

1) On associe à chaque signal $s_{k} (t) = A_{k} cos (ω t - φ_{k})$ le complexe $s_{k} = A_{k} e^{- i φ_{k}} e^{iω t}$ , dont il est la partie réelle. Montrer que $s = s_{1} + s_{2}$ est une sinusoïde de même pulsation, $s = A cos (ω t - ψ)$ , avec $A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos Δ φ, tan ψ = \frac{A _{2} sin Δ φ}{A _{1} + A _{2} cos Δ φ} .$ Traduire ce résultat par une construction géométrique (somme de deux vecteurs tournants, dite construction de Fresnel).

2) En déduire l'encadrement $A_{1} - A_{2} \leq A \leq A_{1} + A_{2}$ et préciser les déphasages qui réalisent chaque borne.

3) Cas $A_{1} = A_{2}$ : retrouver le résultat du cours et montrer que $ψ = Δ φ /2$ (modulo $π$ ).

4) Un écho faible : $A_{2} = A_{1} /10$ . Entre quelles valeurs l'amplitude varie-t-elle quand $Δ φ$ parcourt $[0, 2 π]$ ? Montrer que $∣ ψ ∣$ ne dépasse jamais $arcsin (A_{2} / A_{1})$ et donner sa valeur en degrés. Un écho faible modifie-t-il davantage l'amplitude ou la phase du signal ?

5) Vérifier l'homogénéité de $A^{2}$ et les cas limites $A_{2} \to 0$ et ( $A_{1} = A_{2}$ , $Δ φ = π$ ).

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La linéarité de la partie réelle : la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles. La stratégie est d'additionner les deux complexes, qui ont le même facteur $e^{iω t}$ , puis de lire module et argument.

1) La somme. Avec $φ_{1} = 0$ et $φ_{2} = Δ φ$ : $s = s_{1} + s_{2} = (A_{1} + A_{2} e^{- i Δ φ}) e^{iω t} .$ Le facteur entre parenthèses est un complexe constant ; écrivons-le sous forme exponentielle, $A_{1} + A_{2} e^{- i Δ φ} = A e^{- i ψ}$ avec $A \geq 0$ . Alors $s = A e^{i (ω t - ψ)}$ , et sa partie réelle est $s (t) = A cos (ω t - ψ)$ : la somme est une sinusoïde de même pulsation. Son amplitude est le module : $A^{2} = A_{1} + A_{2} cos Δ φ - i A_{2} sin Δ φ^{2} = (A_{1} + A_{2} cos Δ φ)^{2} + A_{2}^{2} sin^{2} Δ φ = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos Δ φ,$ en utilisant $cos^{2} + sin^{2} = 1$ . Sa phase se lit sur les parties réelle et imaginaire, $A cos ψ = A_{1} + A_{2} cos Δ φ$ et $A sin ψ = A_{2} sin Δ φ$ , d'où $tan ψ$ ; la partie réelle étant positive ( $A_{1} \geq A_{2}$ ), $ψ$ est l'arc tangente de cette expression.

La construction géométrique. Dans le plan complexe, $A_{1}$ est un vecteur de longueur $A_{1}$ porté par l'axe réel, et $A_{2} e^{- i Δ φ}$ un vecteur de longueur $A_{2}$ qui fait l'angle $- Δ φ$ avec lui. On les met bout à bout : la résultante a pour longueur $A$ et fait l'angle $- ψ$ avec l'axe. La formule de $A^{2}$ est la loi d'Al-Kashi dans ce triangle ; multiplier par $e^{iω t}$ le fait tourner d'un bloc, d'où la même pulsation.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.