Le casque antibruit : la tolérance sur le retard

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 3 — Interférences · B. Origine du déphasage : la différence de marche

Énoncé

Un casque à réduction de bruit active capte le bruit ambiant avec un micro et émet dans l'oreille un « anti-bruit » destiné à l'annuler par interférences destructives. On modélise le bruit, au niveau du tympan, par $s (t) = A cos (ω t)$ , de fréquence $f = ω /2 π$ . On mesure l'efficacité par l'atténuation $G = 20 lo g_{10} (A_{r e ˊ s} / A)$ , en décibels, où $A_{r e ˊ s}$ est l'amplitude résiduelle.

1) Quel signal le casque doit-il émettre pour annuler exactement le bruit ? Quel déphasage cela représente-t-il ? En pratique, le casque reproduit le bon déphasage mais une amplitude $0, 9 A$ seulement : calculer l'amplitude résiduelle et l'atténuation.

2) Le traitement électronique (conversion, calcul, restitution) prend un temps $τ$ : le casque émet $s^{'} (t) = - A cos (ω (t - τ))$ . Écrire $s^{'}$ sous la forme $A cos (ω t - Δ φ)$ , puis montrer, à l'aide du résultat du cours sur la somme de deux ondes de même amplitude, que $A_{r e ˊ s} = 2 A ∣ sin (π f τ)∣ .$

3) On prend $τ = 20 μ s$ . Calculer l'atténuation à $100 Hz$ , $1 kHz$ et $3 kHz$ . Jusqu'à quelle fréquence l'atténuation reste-t-elle meilleure que $- 20 dB$ ? Au-delà de quelle fréquence le casque amplifie-t-il le bruit ?

4) Le son se propage dans l'air à $c = 340 m s^{- 1}$ . À quel décalage de position entre le micro et le tympan le retard $τ$ équivaut-il ? Expliquer pourquoi ces casques sont efficaces sur le grondement d'un avion de ligne (quelques centaines de hertz au plus) et beaucoup moins sur une voix aiguë.

5) Quel déphasage résiduel $ε$ , à amplitude exacte, donne lui aussi $- 20 dB$ ? Comparer l'exigence sur l'amplitude et l'exigence sur la phase.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le résultat du cours : deux signaux de même amplitude $A$ déphasés de $Δ φ$ ont pour somme une sinusoïde d'amplitude $2 A ∣ cos (Δ φ /2)∣$ . Et, pour l'amplitude inégale de la question 1, l'exercice 1. La stratégie est de tout ramener à un déphasage.

1) L'anti-bruit idéal, puis l'erreur d'amplitude. Il faut émettre $s^{'} (t) = - A cos (ω t) = A cos (ω t - π)$ : un signal de même amplitude en opposition de phase, $Δ φ = π$ . Alors $s + s^{'} = 0$ à chaque instant. Si l'amplitude n'est que $0, 9 A$ avec la bonne opposition de phase, l'exercice 1 (borne inférieure $A_{1} - A_{2}$ ) donne $A_{r e ˊ s} = A - 0, 9 A = 0, 1 A, G = 20 lo g_{10} 0, 1 = - 20 dB .$ L'intensité, proportionnelle au carré de l'amplitude, est divisée par $100$ .

2) Le retard devient un déphasage. Comme $- cos u = cos (u - π)$ , $s^{'} (t) = A cos (ω t - ω τ - π), donc Δ φ = π + ω τ .$ Le résultat du cours donne $A_{r e ˊ s} = 2 A cos \frac{π + ω τ}{2} = 2 A sin \frac{ω τ}{2} = 2 A ∣ sin (π f τ)∣,$ en utilisant $cos (π /2 + u) = - sin u$ et $ω = 2 π f$ . Le point important : le même retard $τ$ correspond à un déphasage parasite $ω τ = 2 π f τ$ proportionnel à la fréquence.

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