Le micro au-dessus du sol : filtre en peigne

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 3 — Interférences · C. Interférences acoustiques

Énoncé

Une chanteuse (source sonore ponctuelle $S$ ) et un microphone $M$ sont à la même hauteur $h = 1, 5 m$ au-dessus d'un sol dur et plan, à la distance horizontale $ℓ = 4, 0 m$ l'un de l'autre. Le micro reçoit l'onde directe et l'onde réfléchie par le sol. On admet que la réflexion sur un sol rigide se fait sans changement de signe de la surpression, et que l'onde réfléchie semble issue de la source image $S^{'}$ , symétrique de $S$ par rapport au sol. $c = 340 m s^{- 1}$ .

1) Faire un schéma. Établir la différence de marche $δ = ℓ^{2} + 4 h^{2} - ℓ$ et la calculer.

2) Pour quelles fréquences le micro est-il dans une interférence destructive ? Montrer qu'elles forment un « peigne » régulier ; donner les quatre premières et leur écart.

3) L'amplitude d'une onde sphérique décroît comme l'inverse de la distance parcourue ; on suppose le sol parfaitement réfléchissant. Calculer le rapport $r$ des amplitudes réfléchie et directe, puis, à l'aide de l'exercice 1, le rapport $A_{m i n} / A_{m a x}$ et la profondeur des creux en décibels.

4) Cas limite : montrer que, si la source et le micro sont tous deux à une hauteur $h ≪ ℓ$ , $δ \approx 2 h^{2} / ℓ$ . Les ingénieurs du son posent parfois le micro sur le sol (micro de surface) : la chanteuse reste à la hauteur $H = 1, 5 m$ , le micro est à la hauteur $h = 1, 0 cm$ . En utilisant $S^{'} M^{2} - S M^{2}$ , montrer que $δ = \frac{4 H h}{S M + S ^{'} M} \approx \frac{2 H h}{ℓ ^{2} + H ^{2}}$ pour $h ≪ H$ . Où se trouve alors la première fréquence d'extinction ? Conclure.

5) Que devient le peigne si la chanteuse recule ( $ℓ$ augmente) ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La source image, admise : l'onde réfléchie arrive en $M$ comme si elle venait de $S^{'}$ , en phase avec $S$ puisque la réflexion ne change pas le signe. La condition de destruction $δ = (n + \frac{1}{2}) λ$ . L'exercice 1 pour deux amplitudes inégales.

1) La différence de marche. Plaçons le sol en $z = 0$ , $S = (0, h)$ , $M = (ℓ, h)$ , d'où $S^{'} = (0, - h)$ . Le trajet direct vaut $S M = ℓ$ . Le trajet réfléchi, de $S$ au sol puis à $M$ , a la même longueur que le segment $S^{'} M$ (c'est tout l'intérêt de la source image : le point de réflexion est l'intersection de $S^{'} M$ avec le sol, et la symétrie conserve les longueurs). Le triangle rectangle de côtés $ℓ$ et $2 h$ donne $S^{'} M = ℓ^{2} + 4 h^{2}, δ = S^{'} M - S M = ℓ^{2} + 4 h^{2} - ℓ = 16 + 9 - 4 = 1, 00 m .$

2) Le peigne de fréquences. Le point $M$ est fixé : $δ$ aussi. L'inconnue est maintenant la fréquence. L'extinction exige $δ = (n + \frac{1}{2}) λ = (n + \frac{1}{2}) c / f$ , soit $f_{n} = (n + \frac{1}{2}) \frac{c}{δ} = 170, 510, 850, 1190 Hz \dots$ Ces fréquences sont régulièrement espacées de $c / δ = 340 Hz$ ; entre elles, les fréquences $n c / δ$ ( $340$ , $680 Hz$ …) sont renforcées. La réponse du micro, tracée en fonction de la fréquence, présente des dents régulières : c'est un filtre en peigne. Le piège : la première extinction n'est pas à $c / δ = 340 Hz$ , mais à la moitié, $170 Hz$ , là où $δ = λ /2$ .

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