Lumière blanche : le spectre cannelé

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 3 — Interférences · D. Interférences lumineuses : les trous d'Young

Énoncé

On éclaire les trous d'Young ( $a = 1, 0 mm$ , écran à $D = 1, 0 m$ ) par une source ponctuelle de lumière blanche, dont on assimile le spectre à l'intervalle $[400 nm; 800 nm]$ . On admet (notion donnée) que deux radiations de longueurs d'onde différentes n'interfèrent pas entre elles : en chaque point de l'écran, leurs intensités s'ajoutent, chacune étant répartie selon la formule de Fresnel fournie $I_{λ} (x) = 2 I_{0} (1 + cos (2 π a x / (λ D)))$ .

1) Que voit-on au centre de l'écran ? Pourquoi ?

2) Où se trouve la première frange sombre pour le violet ( $400 nm$ ) et pour le rouge ( $800 nm$ ) ? Quelle est l'intensité du rouge là où le violet s'éteint ? Décrire l'aspect de l'écran près du centre.

3) On place la fente d'entrée d'un spectroscope au point $x = 4, 5 mm$ . Calculer la différence de marche. Quelles longueurs d'onde y sont éteintes ? Combien de raies sombres (« cannelures ») le spectre présente-t-il ?

4) Comment le nombre de cannelures varie-t-il avec $x$ ? Expliquer pourquoi, loin du centre, l'œil voit un éclairement blanc uniforme (« blanc d'ordre supérieur »), alors que le spectroscope révèle encore des interférences.

5) Montrer que deux cannelures consécutives $λ_{k} > λ_{k + 1}$ suffisent à mesurer $δ = \frac{λ _{k} λ _{k + 1}}{λ _{k} - λ _{k + 1}}$ . Vérifier sur les valeurs du 3).

6) (Capacité numérique facultative.) Écrire un script Python qui calcule $I (λ)$ au point $x = 4, 5 mm$ et repère ses minima.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Fresnel fournie pour chaque radiation, l'additivité des intensités de radiations différentes (donnée), et la condition d'extinction $δ = (k + \frac{1}{2}) λ$ . Le fait central : $δ = a x / D$ ne dépend pas de $λ$ , alors que la condition d'interférence en dépend.

1) La frange centrale blanche. En $x = 0$ , $δ = 0$ pour toutes les longueurs d'onde : chacune y est à son maximum $4 I_{0}$ . Toutes les couleurs y sont présentes avec le même renforcement : la frange centrale est blanche. C'est le seul point de l'écran qui joue ce rôle — on l'appelle frange achromatique, et le problème s'en servira pour repérer l'ordre zéro.

2) Les premières franges. La première frange sombre d'une radiation est en $δ = λ /2$ , soit $x = λ D / (2 a)$ : $x_{violet} = 0, 20 mm, x_{rouge} = 0, 40 mm .$ En $x = 0, 20 mm$ , $δ = 0, 20 μ m$ , et pour le rouge $Δ φ = 2 π \times 0, 20/0, 80 = π /2$ : $I_{rouge} = 2 I_{0}$ , la moitié de son maximum. Le violet manque, le rouge et le jaune sont présents : teinte jaune-orangé. En $x = 0, 40 mm$ , le rouge s'éteint et le violet ( $δ = λ$ ) est à son maximum : teinte bleutée. Autour de la frange blanche se succèdent ainsi quelques franges irisées, colorées par l'absence de certaines radiations.

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