Masquer un trou : contraste et énergie

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 3 — Interférences · D. Interférences lumineuses : les trous d'Young

Énoncé

On rappelle la formule de Fresnel pour deux ondes cohérentes d'intensités $I_{1}$ et $I_{2}$ arrivant en $M$ avec le déphasage $Δ φ$ (formule fournie, à ne pas démontrer) : $I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos Δ φ .$ Dans un dispositif de trous d'Young ( $Δ φ = 2 π a x / (λ D)$ ), on place devant $S_{2}$ un filtre neutre, d'épaisseur négligeable, qui ne transmet que la fraction $T$ de l'intensité : $I_{2} = T I_{1}$ .

1) Exprimer $I (x)$ , $I_{m a x}$ , $I_{m i n}$ et le contraste $C = \frac{I _{m a x} - I _{m i n}}{I _{m a x} + I _{m i n}}$ en fonction de $T$ . Les franges se déplacent-elles ? L'interfrange change-t-il ?

2) Calculer $C$ pour $T = 1$ , $T = 0, 25$ et $T = 0, 01$ . Commenter le dernier résultat : une onde cent fois moins intense que l'autre est-elle « invisible » dans la figure ?

3) Calculer l'intensité moyenne sur une interfrange. Comparer à la somme $I_{1} + I_{2}$ et conclure : les franges sombres violent-elles la conservation de l'énergie ?

4) Cas limites $T \to 0$ et $T = 1$ ; homogénéité de $C$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Fresnel fournie, et elle seule — c'est exactement la capacité « exploiter la formule de Fresnel fournie pour décrire la répartition d'intensité lumineuse ». Le lien avec l'exercice 1 : l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude, et la formule de Fresnel n'est autre que $A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos Δ φ$ .

1) La figure. Avec $I_{2} = T I_{1}$ : $I (x) = I_{1} (1 + T + 2 T cos \frac{2 π a x}{λ D}), I_{m a x} = I_{1} (1 + T)^{2}, I_{m i n} = I_{1} (1 - T)^{2} .$ Alors $I_{m a x} - I_{m i n} = 4 T I_{1}$ et $I_{m a x} + I_{m i n} = 2 (1 + T) I_{1}$ , d'où $C = \frac{2 T}{1 + T} .$ Le filtre, d'épaisseur négligeable, ne change pas le déphasage : les franges restent à la même place, avec le même interfrange $λ D / a$ . Seul leur contraste change.

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