Problème : le réfractomètre interférentiel de Rayleigh

On veut mesurer l'indice optique $n$ d'un gaz, très proche de $1$. On rappelle (notion donnée) que la lumière se propage dans un milieu transparent homogène d'indice $n$ à la vitesse $c/n$, et que le chemin optique le long d'un segment de longueur $\ell$ dans ce milieu vaut $n\ell$ ; le long d'un trajet formé de plusieurs segments, on additionne. Le déphasage entre deux ondes de longueur d'onde dans le vide $\lambda$ est $2\pi \delta /\lambda$, où $\delta$ est la différence de leurs chemins optiques.

Un dispositif de trous d'Young ($a=1,0\mathrm{mm}$, écran à $D=1,0\mathrm{m}$) est éclairé par un laser de longueur d'onde $\lambda =632,8\mathrm{nm}$, placé sur la médiatrice de $S_1{S}_2$. Entre la source et chaque trou est placée une cuve de longueur intérieure $L=10,0\mathrm{cm}$, aux parois minces et identiques ; au départ, les deux cuves sont vides d'air. Hors des cuves, on confond chemin optique et distance (l'indice de l'air ambiant ne modifie l'interfrange que de $0,03\%$). On note $x$ l'abscisse sur l'écran, positive du côté de $S_1$, et $\delta =(S{S}_{2}M)-(S{S}_{1}M)$. Formule de Fresnel fournie : $I=2I_0(1+\cos (2\pi \delta /\lambda ))$.

1) On remplit de gaz la cuve placée devant $S_1$, l'autre restant vide. Établir $\delta (x)=\frac{ax}{D}-(n-1)L$.

2) Montrer que la figure translate de $\Delta x=(n-1)\frac{LD}{a}$, préciser dans quel sens, et que l'interfrange ne change pas.

3) Le remplissage est lent : on compte les franges qui défilent devant un repère fixe de l'écran. Montrer que leur nombre est $N=(n-1)L/\lambda$. On en compte $N=44$ pour de l'air : en déduire $n-1$ et l'incertitude relative si le comptage est sûr à une demi-frange près.

4) Ordres de grandeur. (a) Un rayon passe du vide dans l'air sous l'incidence $45^{\circ }$ ; à l'aide de la loi de Descartes $\sin i=n\sin r$, estimer sa déviation $i-r$ et commenter la difficulté de mesurer $n-1$ par réfraction. (b) L'interféromètre permet de repérer un déplacement d'un vingtième d'interfrange : quelle variation de $n-1$ résout-il ?

5) Si l'on remplit la cuve brutalement, on ne voit que l'état final. Pourquoi ne peut-on pas alors déduire $n-1$ de la seule figure monochromatique ? Montrer qu'en lumière blanche (en négligeant la variation de $n$ avec $\lambda$) la frange achromatique lève l'ambiguïté ; où se trouve-t-elle ?

6) Vérifier l'homogénéité de $\Delta x$ et examiner les cas limites $L\to 0$ et $n\to 1$. Variante solide : on place devant $S_1$ une lame de verre d'épaisseur $e$ et d'indice $n_v=1,5$ (sans cuve). De combien de franges la figure se décale-t-elle pour $e=10\mu \mathrm{m}$, et pour une lamelle de microscope de $150\mu \mathrm{m}$ ? Énoncer le résultat établi.