Trous d'Young : établir la différence de marche, et les anneaux

Deux trous $S_1$ et $S_2$, distants de $a$, se comportent comme deux sources ponctuelles en phase, de longueur d'onde $\lambda$, dans l'air (le chemin optique se confond avec la distance). On prend un repère d'origine $O$ au milieu de $S_1{S}_2$, l'axe $Ox$ porté par $S_1{S}_2$, avec $S_1=(a/2,0,0)$ et $S_2=(-a/2,0,0)$. On note $\delta =S_{2}M-S_{1}M$.

1) L'écran est le plan $z=D$, parallèle au plan des trous ; $M=(x,y,D)$. Montrer que, exactement, $\delta =\frac{2ax}{S_{1}M+S_{2}M}$. En déduire, pour $D\gg a,|x|,|y|$, que $\delta \approx \frac{ax}{D}$. Quelle est la forme des franges ? Montrer que les franges brillantes sont équidistantes.

2) On prend $a=0,50\mathrm{mm}$, $D=1,0\mathrm{m}$, $\lambda =600\mathrm{nm}$. Estimer l'erreur relative commise sur $\delta$ en $x=5\mathrm{mm}$ et en $x=10\mathrm{cm}$ (avec $y=0$). Montrer que la grandeur pertinente n'est pas l'erreur relative, mais l'erreur absolue comparée à $\lambda$, et conclure sur le domaine de validité de la formule $\delta =ax/D$.

3) On admet que les surfaces $\delta =$ constante sont des surfaces de révolution d'axe $S_1{S}_2$ (des hyperboloïdes, généralisation à l'espace de l'exercice 3). L'écran est maintenant perpendiculaire à $S_1{S}_2$ : c'est le plan $x=D$, avec $D\gg a$, et $M$ y est repéré par sa distance $\rho$ au pied $F$ de l'axe. Quelle est la forme des franges ? Montrer que $\delta \approx \frac{aD}{\sqrt{D^2+{\rho }^2}}$.

4) AN : $a=1,0\mathrm{mm}$, $D=1,0\mathrm{m}$, $\lambda =500\mathrm{nm}$. Quel est l'ordre d'interférence $p=\delta /\lambda$ au centre $F$ ? Le centre est-il brillant ou sombre ? Montrer que les anneaux brillants ont pour rayons ${\rho }_k\approx D\sqrt{2k\lambda /a}$ (pour $\rho \ll D$), les calculer pour $k=1$ à $4$ et comparer à l'expression sans approximation des petits angles. Sont-ils équidistants ?