Faire interférer une molécule de fullerène

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 4 — Dualité onde-particule · C. Ordres de grandeur : quand le quantique se manifeste-t-il ?

Énoncé

En 1999, une équipe de l'université de Vienne a obtenu une figure d'interférences avec des molécules de fullerène C $_{60}$ , constituées de soixante atomes de carbone, de masse $m = 720 u$ ( $1 u = 1, 66 \times 1 0^{- 27} kg$ ) et de diamètre voisin de $1 nm$ . Les molécules sortaient d'un four avec une vitesse la plus probable voisine de $220 m s^{- 1}$ et traversaient un réseau de période $a = 100 nm$ . On prend une distance réseau-détecteur $D = 1, 25 m$ .

a) Calculer la longueur d'onde de de Broglie des molécules et la comparer à leur taille.

b) Au voisinage du centre, deux ordres d'interférence voisins sont séparés, comme pour la lumière, de $i = λ D / a$ . Calculer $i$ . Est-ce mesurable ?

c) Refaire l'estimation pour un grain de poussière de $1 μ g$ se déplaçant à $1 mm s^{- 1}$ , à travers des fentes distantes de $a = 1 mm$ , avec $D = 1 m$ , puis calculer la longueur d'onde d'une balle de tennis de $58 g$ lancée à $30 m s^{- 1}$ . Conclure.

d) Les vitesses des molécules sortant du four sont dispersées : on suppose $Δ v / v \approx 0, 5$ . Quelle est la dispersion relative des longueurs d'onde ? En s'inspirant du brouillage des franges en lumière blanche (chapitre sur les interférences), expliquer pourquoi seuls les tout premiers ordres d'interférence sont visibles.

e) Pourquoi l'expérience est-elle un tour de force, soixante-dix ans après celle de Davisson et Germer ?

Corrigé

La stratégie. Ce qui compte n'est pas que l'onde existe — elle existe pour tout objet — mais qu'elle soit observable, c'est-à-dire qu'elle produise un effet mesurable : une interfrange.

a) La longueur d'onde. $m = 720 \times 1, 66 \times 1 0^{- 27} \approx 1, 20 \times 1 0^{- 24} kg$ , et $λ = \frac{h}{m v} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{1 , 20 \times 1 0 ^{- 24} \times 220} \approx 2, 5 \times 1 0^{- 12} m = 2, 5 pm .$ C'est environ quatre cents fois plus petit que la molécule elle-même. L'onde est attachée à l'objet entier, pas à chacun de ses atomes : c'est la quantité de mouvement totale qui la fixe.

b) L'interfrange. $i = \frac{λ D}{a} = \frac{2 , 5 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 , 25}{100 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 3 \times 1 0^{- 5} m = 30 μ m .$ Une trentaine de micromètres : c'est petit, mais mesurable avec un détecteur qu'on balaie finement. L'expérience détectait les molécules une par une, en les ionisant par un faisceau laser puis en comptant les ions.

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