Gaz classique ou gaz quantique ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 4 — Dualité onde-particule · C. Ordres de grandeur : quand le quantique se manifeste-t-il ?

Énoncé

Dans un gaz, chaque particule porte une onde de matière. On admet que les effets quantiques collectifs deviennent importants quand la longueur d'onde de de Broglie typique $λ$ des particules devient comparable à la distance moyenne $d$ entre particules voisines, et sont négligeables si $λ ≪ d$ . On admet aussi (notion fournie) que, dans un gaz à l'équilibre à la température $T$ , la vitesse quadratique moyenne $u$ des particules de masse $m$ vérifie $\frac{1}{2} m u^{2} = \frac{3}{2} k_{B} T$ . Masse d'un atome d'hélium : $m_{He} = 6, 65 \times 1 0^{- 27} kg$ .

a) Exprimer la longueur d'onde typique $λ = h / (m u)$ en fonction de $h$ , $m$ , $k_{B}$ et $T$ . Montrer que, pour $n$ particules par unité de volume, $d \approx n^{- 1/3}$ .

b) Hélium gazeux à $300 K$ sous $1 bar$ (gaz parfait). Calculer $λ$ et $d$ . Le gaz est-il classique ?

c) Hélium liquide à $4, 2 K$ , de masse volumique $125 kg m^{- 3}$ . Calculer $d$ et $λ$ . Conclure. On sait qu'en dessous de $2, 17 K$ , l'hélium liquide devient superfluide : il s'écoule sans viscosité. Commenter.

d) Électrons de conduction du cuivre : $n = 8, 5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ à $300 K$ . Calculer $d$ , puis la longueur d'onde que donnerait la formule du a). Conclure. Pourquoi le calcul de $λ$ par la formule thermique est-il lui-même suspect ici, et cela change-t-il la conclusion si la vitesse réelle des électrons est de l'ordre de $1 0^{6} m s^{- 1}$ ?

e) Estimer la température en dessous de laquelle de l'hélium gazeux sous $1 bar$ deviendrait quantique. Commenter.

Corrigé

La stratégie. Comparer deux longueurs : celle de l'onde, fixée par la quantité de mouvement donc par la température, et celle qui sépare les particules, fixée par la densité. Le rapport $λ / d$ est le nombre sans dimension qui décide.

a) Les deux longueurs. De $\frac{1}{2} m u^{2} = \frac{3}{2} k_{B} T$ on tire $m u = 3 m k_{B} T$ , d'où $λ = \frac{h}{3 m k _{B} T} .$ Elle décroît quand la masse ou la température augmentent : le froid et la légèreté allongent l'onde. Pour la distance : si l'on découpe le volume en cubes contenant chacun une particule, chaque cube a le volume $1/ n$ , donc l'arête $n^{- 1/3}$ ; c'est la distance typique entre voisines, $d \approx n^{- 1/3}$ .

b) Hélium gazeux à $300 K$ . Par l'équation d'état des gaz parfaits, $n = P / (k_{B} T) = 1 0^{5} / (1, 38 \times 1 0^{- 23} \times 300) \approx 2, 4 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ , d'où $d \approx 3, 5 nm$ . Et $λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{3 \times 6 , 65 \times 1 0 ^{- 27} \times 1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 300} \approx 7, 3 \times 1 0^{- 11} m = 0, 073 nm .$ $λ / d \approx 0, 02$ : l'onde de chaque atome est cinquante fois plus petite que la distance qui le sépare de ses voisins. Le gaz est classique : on peut le décrire par des billes, et c'est ce que fait toute la thermodynamique des gaz.

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