L'expérience de Davisson et Germer (1927)

La stratégie. C'est l'exercice du chapitre sur les interférences, à un détail près : l'onde est celle de l'électron. On calcule donc $\lambda$ par la mécanique, puis on écrit une différence de marche exactement comme pour un réseau optique.

a) La longueur d'onde. Par le théorème de l'énergie cinétique, comme à l'exercice 4 : $$v=\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\times 1,60\times 10^{-19}\times 54}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 4,36\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et $$\lambda =\frac{h}{m_{e}v}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{9,11\times 10^{-31}\times 4,36\times 10^6}\approx 1,67\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,167\mathrm{nm}.$$ On vérifie avec la forme pratique : $1,23/\sqrt{54}\approx 0,167\mathrm{nm}$. Et $v/c\approx 0,015$ : le traitement newtonien est sans reproche.

b) La différence de marche. L'incidence est normale : l'onde incidente atteint toutes les rangées de la surface en phase, sans différence de chemin à l'aller. Au retour, considérons deux rangées voisines $A$ et $B$, distantes de $d$, et les deux rayons diffusés parallèlement dans la direction $\theta$. Abaissons depuis $A$ la perpendiculaire au rayon issu de $B$ : au-delà de ce plan d'onde, les deux chemins sont égaux. Le rayon issu de l'une des rangées parcourt en plus la longueur du côté du triangle rectangle d'hypoténuse $d$ opposé à l'angle $\theta$, soit $$\delta =d\sin \theta .$$ Les ondes de deux rangées voisines sont en phase si $\delta$ est un multiple entier de $\lambda$. Si c'est vrai pour deux voisines, c'est vrai de proche en proche pour toutes les rangées, puisque la différence de marche entre la première et la $k$-ième vaut $kd\sin \theta$. D'où la condition, celle d'un réseau sous incidence normale : $$d\sin \theta =p\lambda ,p\in \mathbb{N}.$$