La pression de radiation et la voile solaire

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 4 — Dualité onde-particule · A. Le photon : la lumière granulaire

Énoncé

Un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde $λ$ et de puissance $P$ tombe sous incidence normale sur une surface plane.

a) Exprimer le nombre $N ˙$ de photons reçus par seconde et la quantité de mouvement de chacun. Vérifier que, pour un photon, $p = E / c$ .

b) La surface est parfaitement absorbante. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur une durée $Δ t$ , montrer que la force exercée par la lumière sur la surface vaut $F = P / c$ . Pourquoi ne dépend-elle pas de $λ$ ? Vérifier l'homogénéité.

c) La surface est parfaitement réfléchissante. Montrer que $F = 2 P / c$ .

d) Un pointeur laser de puissance $1, 0 mW$ et de longueur d'onde $633 nm$ éclaire un écran noir. Calculer $N ˙$ et $F$ ; comparer $F$ au poids d'un grain de poussière de masse $1 μ g$ ( $g = 9, 8 m s^{- 2}$ ). Pourquoi la pression de radiation paraît-elle continue alors qu'elle résulte de chocs individuels ?

e) La sonde japonaise IKAROS (lancée en 2010) a déployé une voile carrée réfléchissante de $14 m$ de côté ; sa masse totale est d'environ $315 kg$ . Au voisinage de la Terre, la puissance solaire reçue par unité de surface vaut $Φ = 1, 36 kW m^{- 2}$ . Calculer la force maximale exercée par la lumière, l'accélération correspondante, et le gain de vitesse au bout de trente jours si cette poussée restait constante. L'agence spatiale japonaise a mesuré une force d'environ $1, 1 mN$ : proposer deux raisons de l'écart.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser, et la stratégie. Les relations du photon, $E = h ν = h c / λ$ et $p = h / λ$ , et le principe fondamental de la dynamique sous sa forme « la force est la dérivée de la quantité de mouvement », avec le principe des actions réciproques. La stratégie est celle de toute la mécanique des flux : compter ce qui arrive pendant $Δ t$ , faire le bilan de la quantité de mouvement de ce qui arrive, et en déduire la force par l'action et la réaction.

a) Le débit de photons. Chaque photon porte l'énergie $h c / λ$ . La puissance $P$ est l'énergie apportée par seconde, donc $N ˙ = \frac{P}{h c / λ} = \frac{P λ}{h c} .$ Chaque photon porte la quantité de mouvement $p = h / λ$ , dirigée selon la propagation. Et comme $E = h c / λ$ , on a bien $p = h / λ = E / c$ : pour le photon, impulsion et énergie sont proportionnelles, le coefficient étant la vitesse de la lumière.

b) Surface absorbante. Pendant $Δ t$ , la surface reçoit $N ˙ Δ t$ photons. Avant l'impact, ils portent ensemble la quantité de mouvement $N ˙ Δ t \frac{h}{λ}$ , normale à la surface ; après, ils ont été absorbés et ne portent plus rien. La variation de quantité de mouvement de la lumière vaut donc $- N ˙ Δ t \frac{h}{λ}$ : la surface a exercé sur la lumière une force moyenne $- N ˙ \frac{h}{λ}$ . Par le principe des actions réciproques, la lumière exerce sur la surface la force opposée, de norme $F = N ˙ \frac{h}{λ} = \frac{P λ}{h c} \cdot \frac{h}{λ} = \frac{P}{c} .$

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