Problème : l'effet photoélectrique et la mesure de $h$ (Einstein 1905, Millikan 1916)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 4 — Dualité onde-particule · A. Le photon : la lumière granulaire

Énoncé

Une cellule photoélectrique comporte, dans une ampoule vide d'air, une cathode métallique éclairée par une lampe à vapeur de mercure dont on isole une raie par un filtre, et une anode. On porte l'anode au potentiel $- U$ par rapport à la cathode ( $U > 0$ ) : le champ électrique freine les électrons émis. On appelle potentiel d'arrêt $U_{0}$ la plus petite valeur de $U$ qui annule le courant.

1) Un électron quitte la cathode avec l'énergie cinétique $E_{c}$ . À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, montrer qu'il atteint l'anode si et seulement si $E_{c} > e U$ . En admettant la relation d'Einstein $E_{c, m a x} = h ν - W$ , où $W$ est le travail d'extraction du métal, établir $e U_{0} = h ν - W .$

2) On dispose des mesures suivantes, simulées dans les conditions de l'expérience de Millikan (les raies du mercure sont réelles, les potentiels d'arrêt sont fabriqués avec une incertitude de quelques centièmes de volt) :

$λ$ (nm)	$546, 1$	$435, 8$	$404, 7$	$365, 0$	$312, 6$	$253, 7$
$U_{0}$ (V)	aucun courant	$0, 56$	$0, 75$	$1, 12$	$1, 66$	$2, 59$

Pour la raie verte de $546, 1 nm$ , on ne mesure aucun courant, même pour $U = 0$ . Qu'est-ce que cela signifie ? En déduire un encadrement de $W$ , en électronvolts, à l'aide des deux premières raies.

3) Calculer les fréquences, tracer $U_{0}$ en fonction de $ν$ , vérifier que les points sont alignés. En déduire $h / e$ , puis $h$ , le travail d'extraction $W$ , la fréquence seuil $ν_{0}$ et la longueur d'onde seuil $λ_{0}$ . (La régression peut se faire en quelques lignes de Python ; ce n'est pas exigé.)

4) On double l'intensité de la lampe sans changer de raie. Comment évoluent le potentiel d'arrêt et le courant obtenu pour $U = 0$ , appelé courant de saturation ? Qu'aurait prédit le modèle ondulatoire, dans lequel l'énergie reçue par un électron croît avec l'intensité ?

5) Pour la raie de $253, 7 nm$ , la puissance lumineuse reçue par la cathode est $P = 1, 0 μ W$ , et le rendement quantique — la fraction des photons qui arrachent un électron — vaut $η = 1 0^{- 3}$ . Estimer le courant de saturation.

6) En 1916, Millikan, longtemps sceptique sur l'interprétation corpusculaire d'Einstein, obtint par cette méthode $h \approx 6, 57 \times 1 0^{- 34} J s$ . Calculer l'écart relatif à la valeur actuelle, $6, 626 \times 1 0^{- 34} J s$ . Expliquer pourquoi l'existence d'un seuil indépendant de l'intensité et la pente universelle de la droite, la même pour tous les métaux, imposent la notion de photon. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie d'ensemble. La mécanique de première année traduit une mesure électrique — une tension qui annule un courant — en une mesure d'énergie cinétique. La relation d'Einstein dit alors que cette énergie est une fonction affine de la fréquence, de pente $h$ . Il reste à vérifier que les mesures sont alignées, et à lire $h$ sur la pente.

1) Le potentiel d'arrêt. Entre la cathode, de potentiel $0$ , et l'anode, de potentiel $- U$ , l'électron de charge $- e$ subit la force électrique ; son travail de la cathode à l'anode vaut $q (V_{cathode} - V_{anode}) = - e (0 - (- U)) = - e U$ . On néglige le poids, d'après les ordres de grandeur de mécanique. Le théorème de l'énergie cinétique donne, à l'arrivée sur l'anode, $E_{c, anode} = E_{c} - e U .$ L'électron atteint l'anode si et seulement si cette quantité reste positive en chemin, c'est-à-dire si $E_{c} > e U$ ; sinon il s'arrête et rebrousse chemin vers la cathode.

Le courant s'annule quand même les électrons les plus rapides sont arrêtés, c'est-à-dire quand $e U ⩾ E_{c, m a x}$ . La plus petite tension qui annule le courant vérifie donc $e U_{0} = E_{c, m a x}$ , et par la relation d'Einstein, $e U_{0} = h ν - W .$ Le point délicat. Ce sont les électrons les plus rapides qui fixent $U_{0}$ , pas les électrons moyens : les électrons émis ont des énergies réparties entre $0$ et $E_{c, m a x}$ , selon la profondeur d'où ils viennent, et seule la borne supérieure a une valeur universelle.

2) La raie verte et l'encadrement. L'absence de courant même à $U = 0$ signifie qu'aucun électron n'est émis : un photon de $546, 1 nm$ porte $h c / λ \approx 2, 28 eV$ , ce qui est insuffisant pour vaincre $W$ . Donc $W > 2, 28 eV$ . La raie de $435, 8 nm$ , elle, émet : ses photons portent $h c / λ \approx 2, 85 eV > W$ . D'où l'encadrement $2, 28 eV < W < 2, 85 eV .$ On peut d'ailleurs déjà le resserrer avec la mesure : $W = 2, 85 - 0, 56 = 2, 29 eV$ pour cette raie, en accord avec l'encadrement.

3) La droite. Les fréquences $ν = c / λ$ valent, en $1 0^{14} Hz$ :

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Problème : l'effet photoélectrique et la mesure de h (Einstein 1905, Millikan 1916)

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Corrigé

Problème : l'effet photoélectrique et la mesure de $h$ (Einstein 1905, Millikan 1916)