Une même longueur d'onde, trois sondes : photon X, électron, neutron

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 4 — Dualité onde-particule · B. L'onde de matière : la relation de de Broglie

Énoncé

Pour étudier la structure d'un cristal, de distances interatomiques voisines de $0, 2 nm$ , on veut une sonde de longueur d'onde $λ = 0, 20 nm$ .

a) Calculer l'énergie, en électronvolts, d'un photon X de cette longueur d'onde.

b) Calculer l'énergie cinétique d'un électron, puis d'un neutron, de même longueur d'onde (cadre newtonien). Montrer que l'énergie varie comme $1/ λ$ pour le photon et comme $1/ λ^{2}$ pour une particule massive, et que le rapport des énergies de l'électron et du neutron vaut $m_{n} / m_{e}$ .

c) Comparer l'énergie du neutron à $k_{B} T$ à $300 K$ . Pourquoi parle-t-on de « neutrons thermiques » ? Quelle est leur vitesse ? Les réacteurs de recherche utilisent des neutrons de vitesse $2200 m s^{- 1}$ : calculer leur longueur d'onde.

d) Un électron de vitesse $2200 m s^{- 1}$ aurait-il la même longueur d'onde ? Commenter le rôle de la masse.

e) Pourquoi les neutrons sont-ils une sonde précieuse, malgré la difficulté de les produire ? Donner deux arguments qualitatifs.

Corrigé

La stratégie. Une même longueur d'onde impose une même quantité de mouvement, $p = h / λ$ . C'est la relation entre $p$ et l'énergie qui distingue les sondes : $E = p c$ pour le photon, $E_{c} = p^{2} / (2 m)$ pour une particule massive lente.

a) Le photon X. $E = h c / λ = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{0 , 20 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 9, 9 \times 1 0^{- 16} J \approx 6, 2 keV$ .

b) Électron et neutron. Pour une particule de masse $m$ , $E_{c} = \frac{p ^{2}}{2 m} = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$ . D'où $E_{c, e} = \frac{( 6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 0 , 20 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}} \approx 6, 0 \times 1 0^{- 18} J \approx 38 eV,$ $E_{c, n} = \frac{( 6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{2 \times 1 , 675 \times 1 0 ^{- 27} \times ( 0 , 20 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 21} J \approx 20 meV .$ Pour le photon, $E = h c / λ$ varie comme $1/ λ$ ; pour une particule massive, $E_{c} = h^{2} / (2 m λ^{2})$ varie comme $1/ λ^{2}$ . À $λ$ fixée, $E_{c}$ est inversement proportionnelle à la masse, et $E_{c, e} / E_{c, n} = m_{n} / m_{e} \approx 1840$ . Trois sondes de même longueur d'onde, et trois énergies qui s'échelonnent sur cinq ordres de grandeur : $6 keV$ , $38 eV$ , $20 meV$ .

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