Du chronogramme à la photographie : le profil renversé

La stratégie. Une seule formule, $p(x,t)=f(t-x/c)$, lue à $x$ fixé (chronogramme, axe en secondes) ou à $t$ fixé (photographie, axe en mètres), sans dessiner deux fois la même courbe.

1) L'expression et le chronogramme en $x_1$. L'onde se propage vers les $x$ croissants sans déformation : $p(x,t)=f(t-x/c)$. En $x_1=6,8$ m, le retard vaut $x_1/c=6,8/340=20$ ms. Le chronogramme est celui de la source décalé de 20 ms : nul jusqu'à $t=20$ ms, montée linéaire jusqu'à $P_0$ à $t=21$ ms, descente linéaire jusqu'à $0$ à $t=24$ ms. Même forme, même orientation : la montée raide est à gauche, en premier, parce qu'elle arrive en premier.

2) La photographie à $t_1=30$ ms. On fixe $t=t_1$ : $p(x,t_1)=f(t_1-x/c)$ est non nul lorsque $0<t_1-x/c<{\theta }_2$, c'est-à-dire $$c(t_1-{\theta }_2)<x<c{t}_1,\text{soit}8,84\mathrm{m}<x<10,2\mathrm{m}.$$ Le maximum correspond à $t_1-x/c={\theta }_1$, soit $x=c(t_1-{\theta }_1)=9,86$ m. Le point le plus avancé, $x=10,2$ m, porte l'état émis à l'instant $0$ (le tout début de l'impulsion) ; le point le plus en arrière, $x=8,84$ m, porte l'état émis à $4$ ms (la fin). La partie raide (émise entre $0$ et $1$ ms) occupe donc la droite de la photographie, sur $c{\theta }_1=0,34$ m ; la descente lente occupe la gauche, sur $c({\theta }_2-{\theta }_1)=1,02$ m. Longueur totale : $c{\theta }_2=1,36$ m.

En général. À $t_1$ fixé, posons $u=x-c{t}_1$ : $p=f(-u/c)$. Le passage de la fonction $f$ (variable temporelle) à la fonction $F(u)=f(-u/c)$ (variable spatiale) consiste à renverser le sens de l'axe (le signe moins) et à dilater d'un facteur $c$ (une durée de $1$ ms devient une longueur de $0,34$ m). Le signe moins a une raison physique : ce qui a été émis en premier est allé le plus loin.

3) Le front raide. Le front raide ouvre le chronogramme, parce qu'il atteint le capteur en premier ; il est donc en tête de l'impulsion, c'est-à-dire du côté vers lequel elle avance : à droite de la photographie, pour une onde qui va vers les $x$ croissants. Les deux énoncés disent la même chose. Dessiner la photographie comme une copie du chronogramme est l'erreur la plus répandue du chapitre ; la protection est de lire l'unité de l'axe et de se demander « qui est arrivé le plus loin ? ».

4) L'onde vers les $x$ négatifs. Pour $x<0$, $p(x,t_1)=f(t_1+x/c)$, non nul lorsque $0<t_1+x/c<{\theta }_2$, soit $-10,2\mathrm{m}<x<-8,84\mathrm{m}$, avec le maximum en $x=-c(t_1-{\theta }_1)=-9,86$ m. La partie raide, en tête, est cette fois du côté des $x$ très négatifs, à gauche. Comme fonction de $x$, avec $u=x+c{t}_1$, on lit $p=f(u/c)$ : aucun renversement, une simple dilatation. La règle à retenir n'est donc pas « la photographie est renversée », mais : sur la photographie, ce qui a été émis en premier est en tête.

5) Le capteur aval. À $t_1=30$ ms, le front est en $x=10,2$ m $<x_2=13,6$ m : l'impulsion n'a pas encore atteint le capteur. On fait glisser la photographie à la vitesse $c$ : le front ($10,2$ m) doit parcourir $3,4$ m, soit $10$ ms, et atteint $x_2$ à $40$ ms ; le maximum ($9,86$ m) parcourt $3,74$ m en $11$ ms et passe à $41$ ms ; la queue ($8,84$ m) passe à $44$ ms. Le chronogramme en $x_2$ monte de $0$ à $P_0$ entre $40$ et $41$ ms et redescend à zéro à $44$ ms. On contrôle par la formule : retard $x_2/c=40$ ms, ajouté au profil de la source. Le passage photographie $\to$ chronogramme a renversé une seconde fois : on a retrouvé l'orientation de $f$.

Ordre de grandeur : une impulsion de 4 ms occupe 1,36 m d'air ; lumineuse, elle occuperait $1200$ km.

Ce que l'exercice installe. Chronogramme et photographie sont deux coupes d'une même fonction de deux variables, reliées par $F(u)=f(-u/c)$ pour une onde vers les $x$ croissants : renversement et changement d'échelle par $c$. Le critère physique « ce qui a été émis en premier est en tête » remplace toutes les règles de signe ; on le réutilisera pour l'onde sinusoïdale (chapitre 2), où la confusion entre les deux graphes est encore plus facile parce qu'ils se ressemblent.