La ola : une onde sans transport de matière

La stratégie. On applique à une foule le vocabulaire du cours — signal, retard, célérité, chronogramme, photographie — parce que, dans une foule, personne ne peut croire que « l'onde emporte les gens ».

1) Grandeur qui varie, ce qui voyage, ce qui reste.

• (a) Le son. La grandeur est la surpression $p(x,t)$, écart entre la pression locale et la pression atmosphérique (on peut aussi suivre le petit déplacement des molécules d'air autour de leur position moyenne). Voyagent l'état de compression, l'information et l'énergie ; les molécules oscillent sur place.
• (b) La tension dans un câble coaxial. La grandeur est la tension $u(x,t)$ entre l'âme et la gaine (ou l'intensité). Le signal parcourt le câble aux deux tiers environ de la vitesse de la lumière, alors que les électrons de conduction avancent en moyenne de quelques fractions de millimètre par seconde : ce ne sont pas eux qui portent le signal.
• (c) L'onde radio. La grandeur est le champ électromagnétique ($\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$). Il n'y a même aucun milieu matériel : l'onde se propage dans le vide.
• (d) La ola. La grandeur est la hauteur de la tête de chaque spectateur (ou, plus grossièrement, l'état « debout » ou « assis »). Ce qui fait le tour du stade est cet état ; chaque spectateur reste à son siège.

2) Le modèle de proche en proche. Le spectateur du siège numéro $n$, d'abscisse $x=na$, fait exactement ce qu'a fait le spectateur d'abscisse $0$, mais $n$ retards plus tard, c'est-à-dire avec le retard $n{\tau }_0=\frac{x}{a}{\tau }_0$. Donc $$h(x,t)=h_0\left(t-\frac{x{\tau }_0}{a}\right)=h_0\left(t-\frac{x}{c}\right),\text{avec}c=\frac{a}{{\tau }_0}.$$ On reconnaît la forme $f(t-x/c)$ d'une onde progressive vers les $x$ croissants : ce qui se passe en $x$ à l'instant $t$ est ce qui s'est passé en $0$ à l'instant antérieur $t-x/c$. Homogénéité : $a/{\tau }_0$ est une longueur divisée par une durée, c'est bien une vitesse. Limite du modèle : les sièges sont discrets ; l'écriture continue en $x$ n'a de sens que parce que la vague s'étend sur une dizaine de sièges, longueur grande devant $a$.

3) Ce que le temps de réaction révèle. Pour $c=12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $${\tau }_0=\frac{a}{c}=\frac{0,60}{12}=0,050\mathrm{s}.$$ Or un spectateur qui attendrait de voir son voisin immédiat se lever mettrait au moins $0,2$ s à réagir, ce qui donnerait $$c=\frac{a}{0,2\mathrm{s}}=3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ quatre fois trop lent. Le modèle « chacun copie son voisin immédiat » est donc faux, et l'écart se lit quantitativement : pour que la vague avance de $12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ avec un temps de réaction de $0,2$ s, il faut que chacun réagisse à ce qui se passe à $12\times 0,2=2,4$ m, soit environ quatre sièges plus loin. Les spectateurs voient venir la vague de loin et anticipent. La célérité reste le quotient d'une distance par un retard ; ce qui change, c'est la distance pertinente.

4) Chronogramme et photographie. Chronogramme d'un siège d'abscisse $x_1$ : la tête est à la hauteur « assis » jusqu'à l'instant $x_1/c$, à la hauteur « debout » pendant $\Delta t=0,70$ s, puis redescend. Le graphe a pour axe horizontal des secondes et une largeur de $0,70$ s. Photographie à l'instant $t_1$ : sont debout les spectateurs qui se sont levés depuis moins de $\Delta t$, c'est-à-dire ceux pour lesquels $0<t_1-x/c<\Delta t$, soit $$c(t_1-\Delta t)<x<c{t}_1.$$ Le graphe a pour axe horizontal des mètres et une largeur $$L=c\Delta t=12\times 0,70=8,4\mathrm{m},\text{soit}\frac{8,4}{0,60}=14\text{sieˋges}.$$ On tombe dans la fourchette observée de 6 à 12 m. Le bord droit de la zone debout, côté propagation, est le front de la vague.

5) Qu'est-ce qui se propage ? Un tour dure $P/c=500/12\approx 42$ s. Pendant ce temps, un spectateur s'est levé puis rassis ; il s'est déplacé de zéro mètre le long de la tribune. Ce qui a fait le tour du stade est un état du milieu (« être debout »), pas un objet. Nuance : la ola ne s'affaiblit pas parce que chaque spectateur fournit l'énergie de son propre mouvement ; dans un son, l'énergie est transmise d'une tranche d'air à la suivante.

Ce que l'exercice installe. Une onde est la propagation d'un état, pas d'une matière : on le dira du son, de la tension dans un câble et des vagues, où ce n'est pas évident. Et l'écriture $h(x,t)=h_0(t-x/c)$ n'est rien d'autre que la traduction d'un retard proportionnel à la distance ; c'est elle, et non une équation, qui définit l'onde progressive. Le lien chronogramme–photographie ($0,70$ s contre $8,4$ m) reviendra à l'exercice 5.