La vitesse d'un point du milieu se lit sur la photographie

La stratégie. La relation demandée n'est pas une équation à résoudre : c'est la dérivée d'une fonction composée, valable pour toute onde progressive, qui transforme une photographie en information sur le mouvement.

1) La relation. Posons $u=x-ct$, de sorte que $y(x,t)=F(u)$. Par la règle de dérivation d'une fonction composée, $$\frac{\partial y}{\partial t}=F^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial t}=-c{F}^{\prime }(x-ct),\frac{\partial y}{\partial x}=F^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}=F^{\prime }(x-ct).$$ En éliminant $F^{\prime }(x-ct)$ : $v_y=-c\frac{\partial y}{\partial x}$. Pour une onde vers les $x$ décroissants, $y=G(x+ct)$, la même dérivation donne $\frac{\partial y}{\partial t}=+c{G}^{\prime }$ et $\frac{\partial y}{\partial x}=G^{\prime }$, donc $$v_y=+c\frac{\partial y}{\partial x}\text{(onde vers les }x\text{ deˊcroissants).}$$ Homogénéité : la pente est sans dimension, $c\times$ pente est une vitesse. Aucune propriété de la corde n'intervient : seul compte que le profil glisse sans se déformer.

2) Les vitesses à l'instant $t_0$. On lit les pentes sur la photographie.

• À l'arrière, $0<x<20$ cm : pente $+h/{\ell }_2=1,0/20=0,050$, donc $v_y=-10\times 0,050=-0,50\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : ces points descendent.
• À l'avant, $20<x<25$ cm : pente $-h/{\ell }_1=-1,0/5,0=-0,20$, donc $v_y=+2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : ces points montent.
• Hors de la bosse, la corde est plate et immobile.

Le graphe $x\mapsto v_y(x,t_0)$ est donc fait de deux paliers : $-0,50\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ sur l'arrière, $+2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ sur l'avant, nul ailleurs, avec un saut au sommet (artefact du profil anguleux, qui serait arrondi sur une vraie corde). La bosse arrive sur les points de l'avant, qui montent, et quitte ceux de l'arrière, qui redescendent.

3) En suivant un point. Un point situé devant la bosse voit arriver d'abord la pente raide : il monte de $h$ pendant la durée ${\ell }_1/c=0,05/10=5,0$ ms, à la vitesse $h/({\ell }_1/c)=ch/{\ell }_1=2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Puis la pente douce le fait redescendre de $h$ en ${\ell }_2/c=20$ ms, à $0,50\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. On retrouve les deux valeurs. Une fois la bosse passée, le point est revenu à $y=0$ : déplacement net nul. Le point a monté et descendu sur place ; seule la forme a voyagé, de $25$ cm en $25$ ms.

4) Le sens de propagation. La même photographie est compatible avec les deux sens : une bosse dont la pente raide est à droite peut aller vers la droite (pente raide en tête) ou vers la gauche (pente raide en queue). La vitesse d'un point lève l'ambiguïté. En $x=22$ cm, la pente vaut $-0,20$. Si l'onde allait vers les $x$ croissants, ce point monterait à $-c\times (-0,20)=+0,20c$ ; il descend, donc l'onde va vers les $x$ décroissants, et $v_y=+c\times (-0,20)=-2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ donne en prime $c=10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Une photographie et une vitesse donnent le sens et la célérité.

5) Ordres de grandeur. $|v_y|/c=\left|\frac{\partial y}{\partial x}\right|$ : le rapport de la vitesse d'un point à la célérité est exactement la pente de la corde. Ici $0,20$ au plus : les points de la corde vont cinq fois moins vite que l'onde. L'hypothèse des petites pentes, qui fonde le modèle de la corde vibrante, est donc équivalente à « la matière bouge beaucoup plus lentement que l'onde ne se propage ». $v_y$ est la vitesse d'un morceau de corde, $c$ celle d'une forme.

Ce que l'exercice installe. Pour toute onde progressive, la vitesse du milieu se lit sur la photographie : $v_y=\mp c\partial y/\partial x$ selon le sens. Les points situés en avant d'une bosse montent, ceux de l'arrière descendent ; une photographie seule ne donne pas le sens de propagation, une photographie et une vitesse le donnent. Le geste — dériver une fonction composée $F(x-ct)$ — resservira pour la vitesse de phase de l'onde sinusoïdale.