Le bang supersonique

La stratégie. Chaque son émis arrive avec un retard égal à la distance divisée par $c$. Au lieu de raisonner sur des fronts d'onde, on étudie la fonction $t_e\mapsto t_a$ (instant d'émission, instant d'arrivée) : tout ce que l'observateur entend se lit sur ses variations.

1) L'instant d'arrivée. À l'instant $t_e$, l'avion est au point d'abscisse $v{t}_e$ et d'altitude $h$. Sa distance à $O$ est $r(t_e)=\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}$ (théorème de Pythagore). Le son parcourt cette distance en $r(t_e)/c$, donc $$t_a(t_e)=t_e+\frac{\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}}{c}.$$

2) Le cas subsonique. On dérive : $$\frac{\mathrm{d}{t}_a}{\mathrm{d}{t}_e}=1+\frac{v^2{t}_e}{c\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}}.$$ Or $\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}>v|t_e|$, donc $\frac{v^2|t_e|}{\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}}<v$, et le second terme est, en valeur absolue, strictement inférieur à $v/c<1$. La dérivée est donc strictement positive : $t_a$ est strictement croissante. Les sons arrivent dans l'ordre où ils ont été émis, chacun une seule fois : l'observateur entend l'avion approcher puis s'éloigner, sans rien de singulier.

3) Le cas supersonique.

Le minimum. La dérivée s'annule si et seulement si $v^2{t}_e=-c\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}$, ce qui impose $t_e<0$ ; en élevant au carré, $v^4{t}_e^2=c^2{h}^2+c^2{v}^2{t}_e^2$, soit $t_e^2{v}^2(v^2-c^2)=c^2{h}^2$, d'où l'unique solution négative $$t_e^{\ast }=-\frac{ch}{v\sqrt{v^2-c^2}}.$$ Quand $t_e\to -\infty$, la dérivée tend vers $1-v/c<0$ ; quand $t_e\to +\infty$, vers $1+v/c>0$. La fonction décroît puis croît : $t_e^{\ast }$ est un minimum. En ce point, $r^{\ast }=\sqrt{h^2+\frac{c^2{h}^2}{v^2-c^2}}=\frac{hv}{\sqrt{v^2-c^2}}$, et $$t_{a,\min }=-\frac{ch}{v\sqrt{v^2-c^2}}+\frac{hv}{c\sqrt{v^2-c^2}}=\frac{h(v^2-c^2)}{vc\sqrt{v^2-c^2}}=\frac{h\sqrt{v^2-c^2}}{vc}.$$

Avant $t_{a,\min }$ : le silence. Aucun son n'arrive avant le minimum de $t_a$. Remarquons que $t_{a,\min }>0$ : l'avion est déjà passé à la verticale (à l'instant $0$) et l'observateur n'a rien entendu. Un avion supersonique traverse le ciel en silence.

À $t_{a,\min }$ : le bang. Au voisinage d'un minimum, la dérivée est nulle : tous les sons émis pendant un petit intervalle de largeur $\epsilon$ autour de $t_e^{\ast }$ arrivent dans un intervalle de durée proportionnelle à ${\epsilon }^2$, bien plus court. L'énergie sonore émise pendant cet intervalle est concentrée en un instant : c'est le bang.

Après $t_{a,\min }$ : deux sons à la fois. La fonction $t_a$ est continue, strictement décroissante sur $]-\infty ,t_e^{\ast }]$ puis strictement croissante sur $[t_e^{\ast },+\infty [$, et tend vers $+\infty$ aux deux bouts (puisque $t_a\ge t_e+v|t_e|/c$ et $v>c$). D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun des deux intervalles, tout instant $t>t_{a,\min }$ a exactement deux antécédents : un son émis avant $t_e^{\ast }$, alors que l'avion approchait, et un son émis après. L'observateur les entend en même temps.

4) Le cône de Mach.

Par le calcul. À l'instant $t_{a,\min }$, l'avion est à l'abscisse $x_A=v{t}_{a,\min }=\frac{h\sqrt{v^2-c^2}}{c}$. L'angle $\alpha$ entre la trajectoire et la droite qui joint $O$ à l'avion vérifie $$\tan \alpha =\frac{h}{x_A}=\frac{c}{\sqrt{v^2-c^2}},\text{donc}\sin \alpha =\frac{\tan \alpha }{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{c}{\sqrt{v^2-c^2+c^2}}=\frac{c}{v}.$$

Par la construction. À un instant $t$, l'avion est en $P_t$. Le son émis à l'instant antérieur $t^{\prime }$, depuis la position $P_{t^{\prime }}$, occupe la sphère de centre $P_{t^{\prime }}$ et de rayon $c(t-t^{\prime })$, tandis que $P_{t^{\prime }}{P}_t=v(t-t^{\prime })$. Le demi-angle sous lequel on voit cette sphère depuis $P_t$ vérifie donc $$\sin \alpha =\frac{c(t-t^{\prime })}{v(t-t^{\prime })}=\frac{c}{v},$$ indépendamment de $t^{\prime }$. Toutes les sphères sont tangentes au même cône de sommet $P_t$, d'axe la trajectoire et de demi-angle $\alpha$ : c'est sur ce cône que les sons s'accumulent. L'observateur entend le bang à l'instant où le cône balaie sa position, c'est-à-dire lorsque la droite (avion, observateur) fait l'angle $\alpha$ avec la trajectoire : on retrouve le calcul.

5) Application et vérifications. Pour $v=2c$ : $\sin \alpha =1/2$, donc $\alpha =30^{\circ }$ ; et $\sqrt{v^2-c^2}=c\sqrt{3}$. $$x_A=h\sqrt{3}\approx 17,3\mathrm{km},t_{a,\min }=\frac{h\sqrt{3}}{2c}\approx 25,5\mathrm{s},t_e^{\ast }=-\frac{h}{2\sqrt{3}c}\approx -8,49\mathrm{s}.$$ Le bang est entendu 25,5 s après le passage à la verticale, l'avion étant déjà à 17,3 km ; le son du bang a été émis 8,5 s avant ce passage. À $t=40$ s, l'observateur reçoit à la fois les sons émis à $-33,9$ s et à $+7,2$ s (résolution numérique de $t_a(t_e)=40$ s sur chaque branche).

Homogénéité : $\frac{h}{c}$ est une durée et $\frac{\sqrt{v^2-c^2}}{v}$ est sans dimension : $t_{a,\min }$ est bien une durée.

Cas limites. Quand $v\to c^{+}$ : $t_{a,\min }\to 0$, $t_e^{\ast }\to -\infty$ et $\alpha \to 90^{\circ }$. Le cône s'ouvre en un plan perpendiculaire à la trajectoire ; le bang est entendu au moment du passage et rassemble des sons émis depuis un temps arbitrairement long (le « mur du son »). Quand $v\to +\infty$ : $\alpha \to 0$, $t_e^{\ast }\to 0$ et $t_{a,\min }\to h/c\approx 29,4$ s : l'avion est « partout à la fois », et le premier son reçu est celui de la verticale, émis à l'instant $0$.

Ce que l'exercice installe. Raisonner sur l'instant d'arrivée $t_e+r/c$ de chaque émission est la méthode générale de tout problème de propagation à source mobile ; le phénomène physique (silence, bang, sons doublés) se lit sur la monotonie d'une fonction. Le cône de Mach, $\sin \alpha =c/v$, est la même géométrie que le sillage en V d'un bateau rapide ou l'onde de choc d'une balle.