Localiser une source avec deux oreilles

La stratégie. Deux capteurs mesurent une différence de distances, par l'intermédiaire d'un retard ; on la traduit en direction — le calcul même des trous d'Young du chapitre 3.

1) La différence de chemin en champ lointain. Les rayons issus de $S$ arrivant en $M_1$ et en $M_2$ sont parallèles, faisant l'angle $\theta$ avec la médiatrice. Le front d'onde qui passe par $M_1$ est perpendiculaire à ces rayons ; il coupe le rayon qui va vers $M_2$ en un point $H$. Tous les points d'un même front d'onde sont atteints au même instant ; le son qui arrive en $M_2$ doit donc encore parcourir $H{M}_2$ après avoir atteint $H$. Dans le triangle rectangle $M_{1}H{M}_2$, d'hypoténuse $M_1{M}_2=D$, l'angle en $M_1$ entre le front d'onde et la droite $(M_1{M}_2)$ est égal à $\theta$ (deux angles à côtés perpendiculaires), d'où $$\delta =H{M}_2=D\sin \theta ,\tau =\frac{\delta }{c}=\frac{D\sin \theta }{c}.$$ Le retard est maximal pour une source dans l'axe, côté $M_1$ ($\theta =90^{\circ }$) : ${\tau }_{\max }=D/c$. Homogénéité : $D\sin \theta /c$ est une durée. Cas limites : $\theta =0$ (source sur la médiatrice) donne $\tau =0$, ce qui est évident par symétrie.

2) Les deux microphones. $$\delta =c\Delta t=340\times 5,0\times 10^{-3}=1,7\mathrm{m},\sin \theta =\frac{\delta }{D}=\frac{1,7}{3,0}=0,57,\theta \approx 35^{\circ }.$$ Le retard maximal possible vaut $D/c=3,0/340=8,8$ ms ; la valeur mesurée lui est inférieure, ce qui est cohérent. Une source dans l'axe donnerait exactement $D/c$, et la mesure du retard donnerait la célérité, $c=D/\Delta t$ : la méthode « deux capteurs » du cours est le cas $\theta =90^{\circ }$.

3) Le cône de confusion. Le retard ne dépend que de $\sin \theta$, c'est-à-dire de la projection de la direction de la source sur l'axe $(M_1{M}_2)$. Les directions $\theta$ et $180^{\circ }-\theta$ (devant et derrière, symétriques par rapport à l'axe) ont le même sinus, donc le même retard ; dans l'espace, toutes les directions qui font le même angle avec l'axe — un cône d'axe $(M_1{M}_2)$ — donnent le même retard. Un auditeur lève l'ambiguïté en tournant la tête (le retard varie en sens contraires selon que la source est devant ou derrière) et grâce au pavillon de l'oreille, qui filtre différemment les sons venus de devant et de derrière.

4) L'oreille humaine. ${\tau }_{\max }=0,17/340=0,50$ ms : le cerveau travaille sur des retards inférieurs à une demi-milliseconde. En différentiant $\tau =D\sin \theta /c$ : $\mathrm{d}\tau =\frac{D\cos \theta }{c}\mathrm{d}\theta$, donc la plus petite variation d'angle perceptible est $$\mathrm{d}\theta =\frac{c\delta \tau }{D\cos \theta }.$$ Droit devant, $\cos \theta =1$ : $\mathrm{d}\theta =\frac{340\times 10\times 10^{-6}}{0,17}=0,020$ rad, soit environ $1^{\circ }$. Sur le côté, $\cos \theta \to 0$ et la formule différentielle diverge : il faut revenir à la fonction. Pour $\theta =90^{\circ }-\Delta$, $\sin \theta =\cos \Delta \approx 1-{\Delta }^2/2$, et la variation de retard vaut $D{\Delta }^2/(2c)$ ; elle atteint $\delta \tau$ pour $$\Delta =\sqrt{\frac{2c\delta \tau }{D}}=\sqrt{0,040}=0,20\mathrm{rad}\approx 11^{\circ }.$$ La localisation est dix fois plus fine devant que sur le côté, ordre de grandeur mesuré chez l'humain : c'est pourquoi l'on tourne la tête vers un bruit. Limite du modèle : le son contourne la tête, et le chemin réel est un peu plus long que $D\sin \theta$, sans changer les conclusions.

5) Le champ proche. Un retard $\Delta t$ fixe la différence $S{M}_2-S{M}_1=c\Delta t$ ; les positions possibles de $S$ forment donc une branche d'hyperbole de foyers $M_1$ et $M_2$. Loin des capteurs, cette branche se confond avec ses asymptotes, qui font avec la médiatrice l'angle $\theta$ tel que $\sin \theta =c\Delta t/D$ : on retrouve la question 1, dont le champ lointain est la limite. Un couple de capteurs donne une courbe ; un troisième capteur donne un second couple, donc une seconde hyperbole, et l'intersection localise la source dans le plan (quatre capteurs sont nécessaires dans l'espace). C'est le principe de la localisation acoustique et, avec des ondes électromagnétiques, du positionnement par satellites.

Ce que l'exercice installe. Deux capteurs mesurent une différence de marche, $\delta =D\sin \theta$ en champ lointain, établie sur les fronts d'onde ; la sensibilité angulaire est maximale là où $\delta$ varie le plus vite. Ce calcul est celui des trous d'Young du chapitre 3, où la différence de marche entre deux sources fixera la figure d'interférences. On retient aussi le geste de « revenir à la fonction quand la différentielle s'annule ».