Réflexion sur une extrémité fixe : l'onde image

La stratégie. On n'écrit que des ondes progressives. Le mur impose une condition en un seul point, mais pour tous les instants : c'est ce « pour tout $t$ » qui détermine la fonction $g$.

1) La fonction $g$. La condition $y(L,t)=0$ s'écrit, pour tout $t$, $$f\left(t-\frac{L}{c}\right)+g\left(t+\frac{L}{c}\right)=0.$$ Soit $u$ un réel quelconque ; appliquons cette égalité à l'instant $t=u-L/c$ : $g(u)=-f\left(u-\frac{2L}{c}\right)$. Comme $u$ est quelconque, la fonction $g$ est déterminée. En remplaçant $u$ par $t+x/c$ : $$y_r(x,t)=g\left(t+\frac{x}{c}\right)=-f\left(t+\frac{x}{c}-\frac{2L}{c}\right)=-f\left(t-\frac{2L-x}{c}\right).$$

2) La source image. L'onde incidente vaut, en $x$, le signal de la source (en $x=0$) retardé de $x/c$. L'onde réfléchie vaut l'opposé de ce signal retardé de $(2L-x)/c$ : le retard d'un signal parti de l'abscisse $2L$, symétrique de $0$ par rapport au mur, et parcourant $2L-x$ vers la gauche. Tout se passe comme si une source image, en $x=2L$ sur une corde fictive prolongée derrière le mur, émettait le signal $-f$. La photographie de l'onde réfléchie est donc l'image de celle de l'onde incidente par la symétrie centrale de centre $(L,0)$ : symétrique par rapport au mur, et retournée.

Avant, seule la bosse incidente est visible, front raide en tête, à droite. Pendant, la corde montre la somme de la bosse et du début de son image retournée, avec un déplacement nul en $x=L$. Après, l'impulsion repart vers la gauche la tête en bas, front raide toujours en tête, désormais à gauche.

3) La corde plate qui bouge. Notons $\Lambda$ la fonction « triangle » paire de hauteur $h$ et de demi-largeur $b$, de sorte que la photographie incidente à l'instant $t^{\ast }$ soit $y_i(x,t^{\ast })=\Lambda (x-L)$. L'onde réfléchie, image par la symétrie centrale de centre $(L,0)$, vaut $y_r(x,t^{\ast })=-\Lambda (L-x)=-\Lambda (x-L)$ puisque $\Lambda$ est paire. Donc, pour $L-b<x<L$, $$y(x,t^{\ast })=\Lambda (x-L)-\Lambda (x-L)=0:$$ la corde est plate près du mur. Les vitesses, elles, ne s'annulent pas. Par l'exercice 6, $v_i=-c\frac{\partial y_i}{\partial x}$ pour l'onde incidente et $v_r=+c\frac{\partial y_r}{\partial x}$ pour l'onde réfléchie ; or $\frac{\partial y_r}{\partial x}=-\frac{\partial y_i}{\partial x}$ à cet instant, donc $v_r=v_i$, et $$v_y=v_i+v_r=2v_i=-2c\frac{\partial y_i}{\partial x}=-2c\cdot \frac{h}{b}\text{sur }L-b<x<L.$$ La corde est plate mais ses points descendent deux fois plus vite qu'au passage de l'impulsion seule. Le point délicat : une photographie plate ne signifie pas une corde au repos ; à cet instant, toute l'énergie de l'impulsion est sous forme cinétique.

4) L'extrémité libre. On dérive par rapport à $x$ : $\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{1}{c}{f}^{\prime }\left(t-\frac{x}{c}\right)+\frac{1}{c}{g}^{\prime }\left(t+\frac{x}{c}\right)$. La condition en $x=L$ s'écrit $g^{\prime }(t+L/c)=f^{\prime }(t-L/c)$ pour tout $t$, d'où, comme plus haut, $g^{\prime }(u)=f^{\prime }(u-2L/c)$ pour tout $u$, puis $g(u)=f(u-2L/c)+K$. Avant l'arrivée de l'impulsion, la corde est au repos, $f$ et $g$ sont nulles, donc $K=0$ : $g(u)=+f(u-2L/c)$. L'écho repart à l'endroit, sans retournement ; la source image émet le même signal $+f$. À l'instant $t^{\ast }$, au bout de la corde, $y(L,t^{\ast })=f(t^{\ast }-L/c)+f(t^{\ast }-L/c)=2h$ : l'anneau monte deux fois plus haut que la bosse.

5) Le croisement de deux impulsions. Deux impulsions symétriques par rapport au point de rencontre $M$ se croisent. De même signe, elles doublent le déplacement en $M$ au croisement, et la pente en $M$ est nulle à chaque instant par symétrie : c'est la condition d'une extrémité libre. De signes opposés, elles laissent $M$ immobile à chaque instant et la corde plate au croisement : c'est l'extrémité fixe. Le mur est l'endroit où une impulsion croise son image : c'est la méthode des images.

Application. L'impulsion va de $x=0$ au mur et revient : distance $2L=10$ m, durée $2L/c=1,0$ s. L'écho revient en $x=0$ au bout d'une seconde, renversé, et se dirige vers les $x$ décroissants.

Ce que l'exercice installe. Une condition aux limites imposée « pour tout instant » détermine une fonction entière ; on l'exploite en choisissant l'instant qui convient. La réflexion se décrit par une source image — renversée pour un bord fixe, à l'endroit pour un bord libre — idée qui reviendra en optique (miroir plan) et en acoustique. Et une corde plate peut être en plein mouvement : photographie et vitesse sont deux informations distinctes.