Combien de zones de silence ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La condition d'interférences destructives pour deux sources en phase, $\delta =(n+\frac{1}{2})\lambda$ ; l'inégalité triangulaire ; la définition bifocale de l'hyperbole, donnée par l'énoncé.

1) La longueur d'onde et le point test. $\lambda =c/f=340/850=0,40\mathrm{m}$. Au point indiqué, $\delta =4,60-4,00=0,60\mathrm{m}=1,5\lambda =(1+\frac{1}{2})\lambda$ : les deux ondes arrivent en opposition de phase, on est sur une ligne de silence.

2) La géométrie des silences. Une ligne de silence est l'ensemble des points où $\delta =S_{2}M-S_{1}M$ vaut une constante $t_n=(n+\frac{1}{2})\lambda$ : c'est une branche d'hyperbole de foyers $S_1$ et $S_2$ (la branche qui entoure $S_1$ si $t_n>0$, celle qui entoure $S_2$ si $t_n<0$). Loin des sources, ces branches s'évasent comme des droites issues du milieu de $S_1{S}_2$ : ce sont leurs asymptotes.

La borne. Dans le triangle $S_1{S}_{2}M$, l'inégalité triangulaire donne $S_{2}M\le S_2{S}_1+S_{1}M$ et $S_{1}M\le S_1{S}_2+S_{2}M$, d'où $|\delta |\le d$. Une ligne de silence n'existe donc que si $|t_n|<d$ (l'égalité ne se produit que sur l'axe $S_1{S}_2$, hors du segment). Ici $|(n+\frac{1}{2})\times 0,40|<1,50$ impose $|n+\frac{1}{2}|<3,75$, soit $n+\frac{1}{2}\in \{\pm 0,5;\pm 1,5;\pm 2,5;\pm 3,5\}$ : huit lignes de silence, et pas une de plus. Le nombre est fini.

Aucun silence. Il faut que la plus petite valeur $\lambda /2$ dépasse $d$ : $\lambda >2d$, soit $$f<\frac{c}{2d}\approx 113\mathrm{Hz}.$$ Deux haut-parleurs proches devant la demi-longueur d'onde ne produisent aucune extinction (les graves d'une chaîne stéréo). À $680\mathrm{Hz}$, $\lambda =0,50\mathrm{m}$, les silences sont en $|\delta |=0,25$, $0,75$ et $1,25\mathrm{m}$ : six lignes.

3) Le promeneur. Plaçons $S_1$ et $S_2$ aux abscisses $+d/2$ et $-d/2$ sur la droite $x=0$, et le promeneur en $M=(L,y)$. Alors $$S_2{M}^2-S_1{M}^2=(y+\frac{d}{2}{)}^2-(y-\frac{d}{2}{)}^2=2yd.$$ Le calcul exact. Sur la ligne $\delta =t$ (on note $t=t_n>0$), $S_{2}M-S_{1}M=t$, et l'identité précédente s'écrit $(S_{2}M-S_{1}M)(S_{2}M+S_{1}M)=2yd$, d'où $S_{2}M+S_{1}M=2yd/t$, puis par demi-différence $S_{1}M=\frac{yd}{t}-\frac{t}{2}$. On élève au carré et l'on égale à $S_1{M}^2=L^2+(y-d/2{)}^2$ : $$\frac{y^2{d}^2}{t^2}-yd+\frac{t^2}{4}=L^2+y^2-yd+\frac{d^2}{4}⟹y^2(\frac{d^2}{t^2}-1)=L^2+\frac{d^2-t^2}{4},$$ ce qui donne la formule annoncée (on garde $y>0$ puisque $t>0$). Elle a un sens parce que $t<d$, comme l'a montré le 2).

Les valeurs. Avec $t_n=0,2$ ; $0,6$ ; $1,0$ ; $1,4\mathrm{m}$ : $$y_0\approx 1,35\mathrm{m},y_1\approx 4,37\mathrm{m},y_2\approx 8,96\mathrm{m},y_3\approx 26,0\mathrm{m}$$ (et les symétriques du côté de $S_2$). L'approximation de l'axe, $\delta \approx dy/L$, donne $y_n\approx L{t}_n/d$ : $1,33$ ; $4,00$ ; $6,67$ ; $9,33\mathrm{m}$, régulièrement espacés de $L\lambda /d=2,67\mathrm{m}$. Elle est excellente pour le premier silence, fausse de près de $9\%$ pour le deuxième et grossièrement fausse ensuite.

Le point délicat. Ce n'est pas l'hypothèse « loin des sources » qui échoue : la différence de marche vaut très bien $d\sin \theta$, où $\theta$ est l'angle sous lequel on voit $M$ depuis le milieu des haut-parleurs ($y=L\tan \theta$ donne $1,35$ ; $4,36$ ; $8,94$ ; $26,0\mathrm{m}$, à $0,3\%$ près). C'est l'hypothèse des petits angles, $\sin \theta \approx \tan \theta$, qui échoue loin de l'axe : les silences s'y espacent de plus en plus.

Combien en tout ? En marchant indéfiniment dans un sens, on croise $y_0,y_1,y_2,y_3$, puis plus rien : $\delta$ tend vers $d=1,5\mathrm{m}$ sans atteindre $3,75\lambda$. Avec l'autre sens, huit silences en tout, conformément au 2).

4) En augmentant la fréquence. $\lambda$ diminue, les valeurs $(n+\frac{1}{2})\lambda$ se resserrent : les lignes de silence sont plus nombreuses (environ $2d/\lambda$) et plus rapprochées ; près de l'axe, l'écart $L\lambda /d$ diminue proportionnellement à $1/f$.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes. Une condition d'interférence définit une surface (ici une courbe du plan), lieu de $\delta =$ constante, et il faut savoir la nommer. La différence de marche est bornée par la distance entre les sources : le nombre de franges est fini, et nul si les sources sont trop proches devant $\lambda /2$. Enfin une approximation se juge par ses valeurs : $d\sin \theta$ est excellent, $dy/L$ ne vaut que près de l'axe. L'identité $S_2{M}^2-S_1{M}^2$, qui transforme une différence de racines en une expression simple, resservira pour les trous d'Young.