Deux haut-parleurs pilotés : orienter un faisceau

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une onde émise en $S$ arrive en $M$ avec le retard $SM/c$ ; le déphasage entre deux ondes de même fréquence se lit sur leurs phases ; la méthode du cours pour la différence de marche des trous d'Young (projection de $S_1{S}_2$ sur la direction d'observation).

1) La différence de marche à grande distance. Pour $r\gg d$, les droites $S_{1}M$ et $S_{2}M$ sont pratiquement parallèles, de direction $\theta$. Abaissons de $S_1$ la perpendiculaire sur $S_{2}M$, de pied $H$ : l'arc de centre $M$ passant par $S_1$ se confond avec cette perpendiculaire, donc $HM\approx S_{1}M$ et $\delta \approx S_{2}H$. Dans le triangle rectangle $S_{1}H{S}_2$, d'hypoténuse $S_1{S}_2=d$, l'angle en $S_1$ est égal à $\theta$ (angles à côtés perpendiculaires), d'où $$\delta \simeq d\sin \theta .$$ Elle est positive du côté de $S_1$ ($\theta >0$), où $S_1$ est plus proche. Contrôle : $\delta =0$ sur la médiatrice, $\delta =d$ dans le prolongement de $S_2{S}_1$, conformément à la borne de l'exercice 3.

2) Sans retard. Les sources sont en phase : maxima pour $d\sin \theta =n\lambda$, minima pour $d\sin \theta =(n+\frac{1}{2})\lambda$. À $1700\mathrm{Hz}$, $\lambda =0,20\mathrm{m}$.

• $d=0,10\mathrm{m}$ : $\sin \theta =2n$ n'admet que $n=0$, un seul maximum, dans l'axe ($\theta =0$) ; les minima, $\sin \theta =\pm 1$, sont à $\pm 90^{\circ }$, dans l'alignement des haut-parleurs.
• $d=0,40\mathrm{m}$ : $\sin \theta =n/2$ donne des maxima à $0$, $\pm 30^{\circ }$ et $\pm 90^{\circ }$ ; les minima, $\sin \theta =(n+\frac{1}{2})/2$, sont à $\pm 14,5^{\circ }$ et $\pm 48,6^{\circ }$.

3) Le retard électronique. L'onde issue de $S_1$ a été émise avec le retard ${\tau }_0$, puis a voyagé pendant $S_{1}M/c$ ; celle de $S_2$ a voyagé pendant $S_{2}M/c$. En $M$ : $$s_1=A^{\prime }\cos (\omega t-\omega {\tau }_0-\frac{\omega S_{1}M}{c}),s_2=A^{\prime }\cos (\omega t-\frac{\omega S_{2}M}{c}),$$ avec la même amplitude $A^{\prime }$ à grande distance. Le déphasage de $s_2$ par rapport à $s_1$ vaut $$\Delta \phi =\frac{\omega }{c}(S_{2}M-S_{1}M)-\omega {\tau }_0=\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta -\omega {\tau }_0=\omega (\frac{d\sin \theta }{c}-{\tau }_0).$$ Déphasage total = terme de propagation $2\pi \delta /\lambda$ moins déphasage à l'émission $\omega {\tau }_0$. Le maximum central, $\Delta \phi =0$, est dans la direction $$\sin {\theta }_0=\frac{c{\tau }_0}{d}.$$ Interprétation. Dans la direction ${\theta }_0$, l'onde de $S_1$ a un trajet plus court de $d\sin {\theta }_0$, donc une avance $d\sin {\theta }_0/c$ ; le retard électronique la compense exactement : les deux ondes arrivent ensemble. Application : ${\tau }_0=d\sin {\theta }_0/c=0,10\times 0,5/340\approx 147\mu \mathrm{s}$. La condition ne contient pas la fréquence : un même retard oriente le lobe central dans la même direction pour toutes les fréquences — ce qui est indispensable pour de la musique, qui en contient beaucoup.

4) Le déphasage fixe. Un déphasage ${\phi }_0$ remplace $\omega {\tau }_0$ ; le maximum central vérifie $\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }={\phi }_0$. Le réglage à $1700\mathrm{Hz}$ ($\lambda =0,20\mathrm{m}$) donne ${\phi }_0=2\pi \times 0,10\times 0,5/0,20=\pi /2$. Alors $\sin \theta =\frac{{\phi }_0\lambda }{2\pi d}=\frac{\lambda }{4d}$ :

• à $850\mathrm{Hz}$, $\lambda =0,40\mathrm{m}$, $\sin \theta =1$ : le lobe part à $90^{\circ }$, dans l'alignement des haut-parleurs ;
• à $3400\mathrm{Hz}$, $\lambda =0,10\mathrm{m}$, $\sin \theta =0,25$ : le lobe part à $14,5^{\circ }$.

Le faisceau « éclate » selon la fréquence : graves d'un côté, aigus de l'autre. Seul un vrai retard donne un déphasage proportionnel à $\omega$, qui compense un retard de propagation à toute fréquence : c'est pourquoi les sonorisations de concert règlent des retards, et non des phases.

5) Le radar. Le même principe, $\sin {\theta }_0=c{\tau }_0/d$, s'applique à des émetteurs espacés de quelques centimètres : réorienter le faisceau revient à changer des retards ou des déphasages électroniques, ce qui se fait en des temps de l'ordre de la microseconde. Une antenne tournante met des secondes à balayer l'horizon ; le radar électronique saute d'une cible à l'autre presque instantanément, et ses centaines d'émetteurs rendent le lobe central très étroit.

Homogénéité et cas limites. $c{\tau }_0/d$ est sans dimension, comme un sinus ; ${\tau }_0=0$ redonne le lobe dans l'axe ; $c{\tau }_0>d$ n'a pas de solution : aucun trajet ne compense un retard supérieur à $d/c$.

Ce que l'exercice installe. Le déphasage entre deux ondes en un point est la somme d'un déphasage à l'émission et d'un déphasage de propagation $2\pi \delta /\lambda$ ; et un retard se distingue d'un déphasage par sa dépendance en fréquence. La relation de champ lointain $\delta =d\sin \theta$, établie ici par la géométrie du cours, est celle des trous d'Young vus sous l'angle $\theta$.