Deux sinusoïdes d'amplitudes différentes

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La linéarité de la partie réelle : la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles. La stratégie est d'additionner les deux complexes, qui ont le même facteur $e^{i\omega t}$, puis de lire module et argument.

1) La somme. Avec ${\phi }_1=0$ et ${\phi }_2=\Delta \phi$ : $$\underline{s}=\underline{s_1}+\underline{s_2}=(A_1+A_2{e}^{-i\Delta \phi })e^{i\omega t}.$$ Le facteur entre parenthèses est un complexe constant ; écrivons-le sous forme exponentielle, $A_1+A_2{e}^{-i\Delta \phi }=A{e}^{-i\psi }$ avec $A\ge 0$. Alors $\underline{s}=A{e}^{i(\omega t-\psi )}$, et sa partie réelle est $s(t)=A\cos (\omega t-\psi )$ : la somme est une sinusoïde de même pulsation. Son amplitude est le module : $$A^2=|A_1+A_2\cos \Delta \phi -i{A}_2\sin \Delta \phi {|}^2=(A_1+A_2\cos \Delta \phi {)}^2+A_2^2{\sin }^2\Delta \phi =A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi ,$$ en utilisant ${\cos }^2+{\sin }^2=1$. Sa phase se lit sur les parties réelle et imaginaire, $A\cos \psi =A_1+A_2\cos \Delta \phi$ et $A\sin \psi =A_2\sin \Delta \phi$, d'où $\tan \psi$ ; la partie réelle étant positive ($A_1\ge A_2$), $\psi$ est l'arc tangente de cette expression.

La construction géométrique. Dans le plan complexe, $A_1$ est un vecteur de longueur $A_1$ porté par l'axe réel, et $A_2{e}^{-i\Delta \phi }$ un vecteur de longueur $A_2$ qui fait l'angle $-\Delta \phi$ avec lui. On les met bout à bout : la résultante a pour longueur $A$ et fait l'angle $-\psi$ avec l'axe. La formule de $A^2$ est la loi d'Al-Kashi dans ce triangle ; multiplier par $e^{i\omega t}$ le fait tourner d'un bloc, d'où la même pulsation.

2) L'encadrement. Comme $-1\le \cos \Delta \phi \le 1$, $$(A_1-A_2{)}^2\le A^2\le (A_1+A_2{)}^2,\text{donc}{A}_1-A_2\le A\le A_1+A_2.$$ La borne supérieure est atteinte pour $\Delta \phi =2n\pi$ (signaux en phase, les deux vecteurs alignés dans le même sens), la borne inférieure pour $\Delta \phi =(2n+1)\pi$ (opposition de phase, vecteurs alignés en sens contraires). C'est l'inégalité triangulaire.

3) Le cas du cours. Avec $A_1=A_2=A_0$ : $$A^2=2A_0^2(1+\cos \Delta \phi )=4A_0^2{\cos }^2\frac{\Delta \phi }{2},A=2A_0\left|\cos \frac{\Delta \phi }{2}\right|,$$ en utilisant $1+\cos u=2{\cos }^2(u/2)$. Pour la phase, $\tan \psi =\frac{\sin \Delta \phi }{1+\cos \Delta \phi }=\frac{2\sin (\Delta \phi /2)\cos (\Delta \phi /2)}{2{\cos }^2(\Delta \phi /2)}=\tan \frac{\Delta \phi }{2}$, donc $\psi =\Delta \phi /2$ modulo $\pi$. Géométriquement, le triangle est isocèle et la résultante est sa bissectrice ; le modulo $\pi$ correspond au signe de $\cos (\Delta \phi /2)$ dans l'écriture du cours.

4) Un écho faible. Avec $A_2=A_1/10$, le 2) donne immédiatement $0,9A_1\le A\le 1,1A_1$ : l'amplitude varie de $\pm 10\%$, soit entre $-0,9$ et $+0,8$ décibel ($20{\log }_{10}0,9$ et $20{\log }_{10}1,1$).

La phase maximale. Géométriquement, l'extrémité de la résultante décrit, quand $\Delta \phi$ varie, un cercle de rayon $A_2$ centré à l'extrémité du vecteur $A_1$. L'angle $\psi$ est maximal quand la résultante est tangente à ce cercle ; le rayon est alors perpendiculaire à la résultante, et le triangle rectangle d'hypoténuse $A_1$ donne $\sin {\psi }_{\max }=A_2/A_1$. Analytiquement, en posant $k=A_1/A_2$, la fonction $\Delta \phi \mapsto \frac{\sin \Delta \phi }{k+\cos \Delta \phi }$ a pour dérivée $\frac{k\cos \Delta \phi +1}{(k+\cos \Delta \phi {)}^2}$, qui s'annule pour $\cos \Delta \phi =-1/k$ ; on y trouve $\tan \psi =1/\sqrt{k^2-1}$, c'est-à-dire $\sin \psi =1/k$. Ainsi $$|\psi |\le \arcsin \frac{A_2}{A_1}=\arcsin 0,1\approx 5,74^{\circ }\approx 0,100\mathrm{rad},$$ atteint pour $\Delta \phi \approx 95,7^{\circ }$ (un balayage numérique de $\Delta \phi$ redonne cette valeur).

Amplitude ou phase ? Ni l'une ni l'autre ne domine : $\pm 10\%$ d'amplitude, $\pm 0,1$ radian de phase. L'écho ajoute au complexe $A_1$ une perturbation de module $A_2$ qui se reporte, selon son orientation, sur le module (écho en phase ou en opposition) ou sur l'argument (écho presque en quadrature) : deux effets du même ordre, $A_2/A_1$.

5) Homogénéité et cas limites. Chaque terme de $A^2$ est le produit de deux amplitudes ($\cos \Delta \phi$ est sans dimension) : l'expression est homogène. Si $A_2\to 0$, $A\to A_1$ et $\tan \psi \to 0$ : on retrouve le seul signal $s_1$. Si $A_1=A_2$ et $\Delta \phi =\pi$, $A^2=2A_1^2-2A_1^2=0$ : extinction totale, qui n'est possible que pour deux amplitudes égales.

Ce que l'exercice installe. La représentation complexe (ou de Fresnel) transforme une somme de sinusoïdes de même pulsation en une somme de vecteurs fixes : amplitude par le module, phase par l'argument, encadrement par l'inégalité triangulaire. C'est l'outil qu'on réemploiera en électricité (régime sinusoïdal forcé) et, dans cette séance même, aux exercices 4 et 8. Et une idée physique : l'extinction totale exige deux ondes d'égale amplitude — avec des amplitudes inégales on n'obtient qu'un minimum $A_1-A_2$.