Lumière blanche : le spectre cannelé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Fresnel fournie pour chaque radiation, l'additivité des intensités de radiations différentes (donnée), et la condition d'extinction $\delta =(k+\frac{1}{2})\lambda$. Le fait central : $\delta =ax/D$ ne dépend pas de $\lambda$, alors que la condition d'interférence en dépend.

1) La frange centrale blanche. En $x=0$, $\delta =0$ pour toutes les longueurs d'onde : chacune y est à son maximum $4I_0$. Toutes les couleurs y sont présentes avec le même renforcement : la frange centrale est blanche. C'est le seul point de l'écran qui joue ce rôle — on l'appelle frange achromatique, et le problème s'en servira pour repérer l'ordre zéro.

2) Les premières franges. La première frange sombre d'une radiation est en $\delta =\lambda /2$, soit $x=\lambda D/(2a)$ : $$x_{\text{violet}}=0,20\mathrm{mm},x_{\text{rouge}}=0,40\mathrm{mm}.$$ En $x=0,20\mathrm{mm}$, $\delta =0,20\mu \mathrm{m}$, et pour le rouge $\Delta \phi =2\pi \times 0,20/0,80=\pi /2$ : $I_{\text{rouge}}=2I_0$, la moitié de son maximum. Le violet manque, le rouge et le jaune sont présents : teinte jaune-orangé. En $x=0,40\mathrm{mm}$, le rouge s'éteint et le violet ($\delta =\lambda$) est à son maximum : teinte bleutée. Autour de la frange blanche se succèdent ainsi quelques franges irisées, colorées par l'absence de certaines radiations.

3) Le spectre cannelé. En $x=4,5\mathrm{mm}$, $\delta =ax/D=10^{-3}\times 4,5\times 10^{-3}/1,0=4,5\mu \mathrm{m}$. Le point est fixé, l'inconnue est $\lambda$ — c'est la seconde lecture de la condition d'interférence, celle du filtre en peigne de l'exercice 4. Les radiations éteintes vérifient $\lambda =\frac{\delta }{k+1/2}$ avec $400\le \lambda \le 800\mathrm{nm}$, soit $5,6\le k+\frac{1}{2}\le 11,25$, d'où $k+\frac{1}{2}\in \{6,5;7,5;8,5;9,5;10,5\}$ : $$\lambda \approx 692,600,529,474,429\mathrm{nm}.$$ Le spectroscope montre le spectre continu de la lumière blanche barré de cinq cannelures sombres : c'est un spectre cannelé.

4) Le blanc d'ordre supérieur. Le nombre de cannelures est le nombre d'entiers $k$ tels que $\delta /800\mathrm{nm}\le k+\frac{1}{2}\le \delta /400\mathrm{nm}$, soit environ $$N\approx \delta (\frac{1}{400\mathrm{nm}}-\frac{1}{800\mathrm{nm}})=\frac{\delta }{800\mathrm{nm}}=\frac{ax}{D\times 800\mathrm{nm}},$$ $5,6$ en $x=4,5\mathrm{mm}$ (on en compte $5$) : il croît proportionnellement à $x$. Loin du centre, les cannelures sont nombreuses et régulièrement réparties dans tout le spectre : il manque un peu de chaque couleur, à peu près autant de chacune, et l'œil, qui ne sépare pas les longueurs d'onde, perçoit un blanc — légèrement grisé, mais uniforme. Ce blanc n'est pas la lumière d'origine : le spectroscope y lit encore les interférences. D'où les quelques franges colorées seulement autour du centre.

5) Mesurer $\delta$. Deux cannelures consécutives vérifient $\delta =(k+\frac{1}{2}){\lambda }_k=(k+\frac{3}{2}){\lambda }_{k+1}$. En soustrayant, $\frac{\delta }{{\lambda }_{k+1}}-\frac{\delta }{{\lambda }_k}=1$, d'où $$\delta =\frac{{\lambda }_k{\lambda }_{k+1}}{{\lambda }_k-{\lambda }_{k+1}}.$$ Avec $692,3$ et $600,0\mathrm{nm}$ : $\delta =\frac{692,3\times 600,0}{92,3}\approx 4500\mathrm{nm}=4,5\mu \mathrm{m}$, ce qui est bien la valeur de départ. Une différence de marche se mesure donc sur un spectre, sans connaître l'ordre $k$ à l'avance.

6) Le script. On échantillonne le spectre, on applique la formule de Fresnel fournie (avec $I_0=1$) et l'on cherche les points plus bas que leurs deux voisins :

import numpy as np

a, D, x = 1.0e-3, 1.0, 4.5e-3    # trous, ecran, point (m)
delta = a * x / D                 # difference de marche (m)
lam = np.linspace(400e-9, 800e-9, 40001)   # visible (m)
I = 2 * (1 + np.cos(2 * np.pi * delta / lam))   # Fresnel, I0=1

# minima locaux de I(lambda) : les cannelures
k = np.where((I[1:-1] < I[:-2]) & (I[1:-1] < I[2:]))[0] + 1
print("delta =", round(delta * 1e6, 2), "micrometres")
print("cannelures (nm) :", np.round(lam[k] * 1e9, 1))
print("nombre :", len(k))

Résultat obtenu en l'exécutant :

delta = 4.5 micrometres
cannelures (nm) : [428.6 473.7 529.4 600.  692.3]
nombre : 5

Les cinq cannelures calculées à la main sont retrouvées ; elles se resserrent vers le bleu, car l'extinction est régulière en $1/\lambda$, pas en $\lambda$.

Ce que l'exercice installe. En lumière blanche, $\delta$ est commune à toutes les radiations, mais chacune a son propre ordre $\delta /\lambda$ : seul $\delta =0$ est achromatique. À position fixée, la condition d'interférence sélectionne des longueurs d'onde : le spectre cannelé, qui permet de mesurer $\delta$. Et la notion — donnée ici, approfondie en deuxième année — que des sources incohérentes ajoutent leurs intensités, ce qui produit le brouillage.