Masquer un trou : contraste et énergie

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Fresnel fournie, et elle seule — c'est exactement la capacité « exploiter la formule de Fresnel fournie pour décrire la répartition d'intensité lumineuse ». Le lien avec l'exercice 1 : l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude, et la formule de Fresnel n'est autre que $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi$.

1) La figure. Avec $I_2=T{I}_1$ : $$I(x)=I_1(1+T+2\sqrt{T}\cos \frac{2\pi ax}{\lambda D}),I_{\max }=I_1(1+\sqrt{T}{)}^2,I_{\min }=I_1(1-\sqrt{T}{)}^2.$$ Alors $I_{\max }-I_{\min }=4\sqrt{T}{I}_1$ et $I_{\max }+I_{\min }=2(1+T)I_1$, d'où $$C=\frac{2\sqrt{T}}{1+T}.$$ Le filtre, d'épaisseur négligeable, ne change pas le déphasage : les franges restent à la même place, avec le même interfrange $\lambda D/a$. Seul leur contraste change.

2) Applications numériques.

• $T=1$ : $C=1$, franges parfaitement contrastées (les sombres sont noires) ;
• $T=0,25$ : $C=2\times 0,5/1,25=0,80$ ;
• $T=0,01$ : $C=0,2/1,01\approx 0,20$.

Le résultat surprenant. L'onde de $S_2$ ne porte que $1\%$ de l'intensité totale, et pourtant elle produit une modulation de contraste $0,20$ : $I_{\max }/I_{\min }=(1,1/0,9{)}^2\approx 1,5$, des franges parfaitement visibles. La raison : ce sont les amplitudes qui s'additionnent. Le terme croisé $2\sqrt{I_1{I}_2}$ est proportionnel à $\sqrt{T}=0,1$, et non à $T=0,01$ : l'onde forte amplifie la signature de l'onde faible, principe de toutes les détections interférométriques.

3) La conservation de l'énergie. Sur une interfrange, $\Delta \phi$ parcourt une période complète, et la valeur moyenne d'un cosinus sur une période est nulle : $$⟨I⟩=I_1+I_2.$$ L'intensité moyenne est exactement la somme des intensités des deux ondes : les franges ne créent ni ne détruisent d'énergie lumineuse, elles la redistribuent — ce qui manque dans les franges sombres se retrouve dans les franges brillantes. Pour $T=1$, $I$ varie de $0$ à $4I_1$ autour de la moyenne $2I_1$.

4) Cas limites et homogénéité. $T\to 0$ : $C\approx 2\sqrt{T}\to 0$, il n'y a plus qu'une onde, plus d'interférences ; la décroissance en $\sqrt{T}$ est très lente. $T=1$ : $C=1$, on retrouve la formule du cours, $I=2I_1(1+\cos \Delta \phi )$. $C$ est un rapport d'intensités, sans dimension, et l'on vérifie $0\le C\le 1$ par l'inégalité $2\sqrt{T}\le 1+T$, c'est-à-dire $(1-\sqrt{T}{)}^2\ge 0$.

Ce que l'exercice installe. Le contraste mesure l'inégalité des deux ondes, l'interfrange mesure leur géométrie : ce sont deux informations indépendantes. Une onde faible reste visible parce que les interférences sont linéaires en amplitude. Et les franges sombres ne sont pas une perte : l'énergie est redistribuée, la moyenne vaut $I_1+I_2$.