Problème : le réfractomètre interférentiel de Rayleigh

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition du chemin optique (donnée), le calcul de $S_{2}M-S_{1}M$ établi à l'exercice 6, la formule de Fresnel fournie, la loi de Descartes. La stratégie : écrire les deux chemins optiques en entier, de la source à l'écran, et ne garder que ce qui diffère.

1) La différence de chemin optique. La source est sur la médiatrice : $S{S}_1=S{S}_2$. Le trajet par $S_1$ traverse la cuve pleine sur la longueur $L$ : à la place du chemin $L$ (vide), il compte $nL$, soit un supplément $(n-1)L$ — les parois, identiques sur les deux trajets, se compensent. Le trajet par $S_2$ traverse une cuve vide. Donc $$(S{S}_{1}M)=S{S}_1+(n-1)L+S_{1}M,(S{S}_{2}M)=S{S}_2+S_{2}M,$$ $$\delta (x)=(S_{2}M-S_{1}M)-(n-1)L=\frac{ax}{D}-(n-1)L,$$ en utilisant $S_{2}M-S_{1}M\approx ax/D$ établi à l'exercice 6 (valable ici car $|x|$ reste de quelques centimètres devant $D=1\mathrm{m}$).

2) La translation. Avec la formule de Fresnel fournie, $$I(x)=2I_0(1+\cos (\frac{2\pi a}{\lambda D}(x-\Delta x)\left)\right),\Delta x=(n-1)\frac{LD}{a}.$$ C'est la figure du cours décalée de $\Delta x>0$ : elle se déplace du côté de $S_1$, c'est-à-dire du côté de la cuve remplie. L'ordre zéro est en $x=\Delta x$ : le trajet géométrique par $S_1$ y est plus court de $(n-1)L$, ce qui compense le retard pris dans le gaz. L'interfrange reste $i=\lambda D/a=0,633\mathrm{mm}$ : seule la position change.

3) Le comptage. Pendant le remplissage, $n$ croît continûment de $1$ à sa valeur finale, et la figure glisse continûment. En un repère fixe $x_r$, l'ordre $p=\delta (x_r)/\lambda$ varie de $(n-1)L/\lambda$ en valeur absolue ; chaque fois qu'il varie d'une unité, une frange brillante passe. Le nombre de franges défilées est donc $$N=\frac{(n-1)L}{\lambda },n-1=\frac{N\lambda }{L}=\frac{44\times 632,8\times 10^{-9}}{0,100}\approx 2,78\times 10^{-4}.$$ L'incertitude. Une demi-frange sur $44$ donne une incertitude relative de $0,5/44\approx 1,1\%$, soit $\pm 3\times 10^{-6}$ sur $n-1$. Avec une cuve de $10\mathrm{cm}$ seulement, on connaît l'écart de l'indice de l'air à $1$ à un pour cent près. Contrôle : $\Delta x=Ni=44\times 0,633\approx 27,8\mathrm{mm}$, cohérent avec la formule du 2).

4) Ordres de grandeur.

(a) Par réfraction. $\sin r=\sin i/n$ ; en posant $r=i-\epsilon$ avec $\epsilon$ petit, $\sin i-\epsilon \cos i\approx \sin i(1-(n-1))$, d'où $\epsilon \approx (n-1)\tan i$. À $45^{\circ }$, la déviation vaut $2,78\times 10^{-4}\mathrm{rad}\approx 0,016^{\circ }$, soit moins d'une minute d'arc ($57^{\prime \prime }$). Mesurer $n-1$ à $1\%$ par cette voie exigerait un angle à une demi-seconde d'arc près : très difficile, même en laboratoire.

(b) La résolution de l'interféromètre. Un vingtième de frange correspond à $\Delta ((n-1)L)=\lambda /20$, soit $$\Delta (n-1)=\frac{\lambda }{20L}\approx 3,2\times 10^{-7},$$ environ un millième de $n-1$. L'interféromètre compare des chemins optiques à une fraction de longueur d'onde près, sur des longueurs de dix centimètres : c'est une mesure relative à $3\times 10^{-7}$, d'où sa supériorité.

5) L'ambiguïté de l'entier. Après un remplissage brutal, on voit une figure monochromatique identique à la figure initiale décalée de $\Delta x$ — mais une figure d'interfrange $i$ décalée de $\Delta x$ est indiscernable de la même figure décalée de $\Delta x\pm i$, $\pm 2i$… On ne lit que $\Delta x$ modulo $i$, c'est-à-dire la partie fractionnaire de $N$ : $n-1$ n'est connu qu'à un multiple de $\lambda /L\approx 6,3\times 10^{-6}$ près, ce qui ne sert à rien. D'où le comptage continu de la question 3, qui suit l'entier.

La frange achromatique. En lumière blanche, toutes les radiations ont leur ordre zéro au même point $\delta =0$ (en négligeant la dispersion du gaz), seul point où apparaît la frange blanche de l'exercice 9. Elle est en $$x_0=(n-1)\frac{LD}{a}=\Delta x\approx 27,8\mathrm{mm},$$ soit $44$ interfranges du centre géométrique. Repérer la frange blanche donne directement $\Delta x$, entier compris ; on affine ensuite en monochromatique.

6) Homogénéité, cas limites, variante solide. $(n-1)$ est sans dimension et $LD/a$ est une longueur : $\Delta x$ est bien une longueur. Si $L\to 0$ ou $n\to 1$, $\Delta x\to 0$ : sans milieu, ou avec un milieu identique au vide, la figure ne bouge pas. Une cuve plus longue rend la mesure plus sensible, au prix de plus de franges à compter.

La lame de verre. Le même raisonnement, avec la lame d'épaisseur $e$ à la place de la cuve, donne un supplément de chemin optique $(n_v-1)e$ sur le trajet par $S_1$, donc un décalage de $(n_v-1)e/\lambda$ franges vers $S_1$ :

• $e=10\mu \mathrm{m}$ : $0,5\times 10^{-5}/632,8\times 10^{-9}\approx 7,9$ franges, soit $5,0\mathrm{mm}$ ;
• $e=150\mu \mathrm{m}$ : $118,5$ franges, soit $75\mathrm{mm}$ — la frange centrale part hors d'un écran ordinaire.

Les interférences mesurent ainsi des épaisseurs au dixième de micromètre.

Le résultat établi — le réfractomètre interférentiel de Rayleigh. Une cuve de longueur $L$ remplie d'un milieu d'indice $n$, placée sur un seul des deux trajets d'un dispositif de trous d'Young, ajoute la différence de chemin optique $(n-1)L$ ; la figure translate de $(n-1)LD/a$ vers ce trajet sans changer d'interfrange ; et le nombre $N$ de franges qui défilent pendant le remplissage donne l'indice : $n-1=\frac{N\lambda }{L}$. L'entier $N$ se suit par comptage continu, ou se lit sur la frange achromatique en lumière blanche.

Ce que le problème installe. Le chemin optique $n\ell$ généralise la différence de marche à des milieux d'indice quelconque : un milieu sur un seul trajet est un retard, et un retard translate la figure, exactement comme le déplacement de la source à l'exercice 7. Compter des franges, c'est mesurer une différence de chemin optique en unités de longueur d'onde, d'où une sensibilité extrême. Et une leçon de méthode : une mesure interférentielle ne donne que la partie fractionnaire de l'ordre ; l'entier se suit (comptage) ou se repère (frange blanche).