Faire interférer une molécule de fullerène

La stratégie. Ce qui compte n'est pas que l'onde existe — elle existe pour tout objet — mais qu'elle soit observable, c'est-à-dire qu'elle produise un effet mesurable : une interfrange.

a) La longueur d'onde. $m=720\times 1,66\times 10^{-27}\approx 1,20\times 10^{-24}\mathrm{kg}$, et $$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{1,20\times 10^{-24}\times 220}\approx 2,5\times 10^{-12}\mathrm{m}=2,5\mathrm{pm}.$$ C'est environ quatre cents fois plus petit que la molécule elle-même. L'onde est attachée à l'objet entier, pas à chacun de ses atomes : c'est la quantité de mouvement totale qui la fixe.

b) L'interfrange. $$i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{2,5\times 10^{-12}\times 1,25}{100\times 10^{-9}}\approx 3\times 10^{-5}\mathrm{m}=30\mu \mathrm{m}.$$ Une trentaine de micromètres : c'est petit, mais mesurable avec un détecteur qu'on balaie finement. L'expérience détectait les molécules une par une, en les ionisant par un faisceau laser puis en comptant les ions.

c) La poussière et la balle. Pour le grain de poussière, $\lambda =h/(mv)=6,63\times 10^{-34}/(10^{-9}\times 10^{-3})\approx 6,6\times 10^{-22}\mathrm{m}$, et $$i=\frac{\lambda D}{a}\approx \frac{6,6\times 10^{-22}\times 1}{10^{-3}}\approx 7\times 10^{-19}\mathrm{m},$$ mille fois moins que le diamètre d'un noyau atomique. Pour la balle de tennis, $\lambda =6,63\times 10^{-34}/(0,058\times 30)\approx 3,8\times 10^{-34}\mathrm{m}$. Une interfrange plus petite qu'un noyau n'a aucun sens physique mesurable : il n'existe ni détecteur, ni fente, ni position du grain définie à cette précision. Pour un objet macroscopique, l'onde existe, mais elle est inobservable ; la mécanique classique ne se trompe pas en l'ignorant. S'y ajoute un effet qualitatif : un objet macroscopique interagit sans cesse avec son environnement, ce qui détruit les interférences (décohérence).

d) Le brouillage par la dispersion des vitesses. Comme $\lambda =h/(mv)$, une dispersion relative des vitesses donne la même dispersion relative des longueurs d'onde : $\Delta \lambda /\lambda \approx \Delta v/v\approx 0,5$. Or le maximum d'ordre $p$ est à la position $x_p=p\lambda D/a$ : il est d'autant plus étalé que $p$ est grand, de $\Delta x_p=p\Delta \lambda D/a$. Les franges restent distinctes tant que cet étalement est petit devant l'interfrange, soit $$p\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\lesssim \frac{1}{2}⟺p\lesssim 1.$$ C'est exactement le brouillage en lumière blanche : chaque longueur d'onde donne sa propre figure, les intensités s'ajoutent, et seuls les premiers ordres, peu sensibles à la longueur d'onde, restent visibles. On observe donc le pic central et les deux pics d'ordre un, pas davantage — et c'est bien ce qu'a montré l'expérience. Pour voir plus de franges, il faut sélectionner les vitesses, comme on filtre une lumière blanche pour la rendre plus monochromatique.

e) Le tour de force. Trois difficultés, toutes lues sur les nombres : une longueur d'onde de quelques picomètres, qui impose un réseau de période nanométrique pour obtenir une interfrange mesurable ; un objet massif et complexe, qui doit traverser le réseau sans interagir avec rien qui révélerait son passage ; et une source dont les vitesses sont dispersées, qui brouille la figure.

Ce que l'exercice installe. La distinction entre exister et être observable : la relation de de Broglie vaut pour tout objet, mais l'onde ne se manifeste que si $\lambda$ est comparable à une taille de l'expérience. Et un pont entre chapitres : la dispersion des vitesses d'un jet de matière joue le rôle de la largeur spectrale d'une source lumineuse, et brouille les franges par le même mécanisme.