Gaz classique ou gaz quantique ?

La stratégie. Comparer deux longueurs : celle de l'onde, fixée par la quantité de mouvement donc par la température, et celle qui sépare les particules, fixée par la densité. Le rapport $\lambda /d$ est le nombre sans dimension qui décide.

a) Les deux longueurs. De $\frac{1}{2}m{u}^2=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ on tire $mu=\sqrt{3m{k}_{B}T}$, d'où $$\lambda =\frac{h}{\sqrt{3m{k}_{B}T}}.$$ Elle décroît quand la masse ou la température augmentent : le froid et la légèreté allongent l'onde. Pour la distance : si l'on découpe le volume en cubes contenant chacun une particule, chaque cube a le volume $1/n$, donc l'arête $n^{-1/3}$ ; c'est la distance typique entre voisines, $d\approx n^{-1/3}$.

b) Hélium gazeux à $300\mathrm{K}$. Par l'équation d'état des gaz parfaits, $n=P/(k_{B}T)=10^5/(1,38\times 10^{-23}\times 300)\approx 2,4\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $d\approx 3,5\mathrm{nm}$. Et $$\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{3\times 6,65\times 10^{-27}\times 1,38\times 10^{-23}\times 300}}\approx 7,3\times 10^{-11}\mathrm{m}=0,073\mathrm{nm}.$$ $\lambda /d\approx 0,02$ : l'onde de chaque atome est cinquante fois plus petite que la distance qui le sépare de ses voisins. Le gaz est classique : on peut le décrire par des billes, et c'est ce que fait toute la thermodynamique des gaz.

c) Hélium liquide à $4,2\mathrm{K}$. $n=\rho /m_{\mathrm{He}}=125/(6,65\times 10^{-27})\approx 1,9\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $d\approx 0,38\mathrm{nm}$. La température a été divisée par $300/4,2\approx 71$, donc $\lambda$ multipliée par $\sqrt{71}\approx 8,5$ : $$\lambda \approx 0,62\mathrm{nm}>d.$$ Les ondes des atomes débordent sur leurs voisins : le liquide ne peut plus être décrit comme une collection de billes indépendantes. C'est le régime où l'on attend des comportements collectifs sans équivalent classique — et l'hélium en offre un spectaculaire, la superfluidité, en dessous de $2,17\mathrm{K}$. Le critère ne la prédit pas en détail ; il dit où la chercher.

d) Les électrons du cuivre. $d=n^{-1/3}=(8,5\times 10^{28}{)}^{-1/3}\approx 0,23\mathrm{nm}$. La formule thermique donne, avec $m_e$, $$\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{3\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,38\times 10^{-23}\times 300}}\approx 6,2\mathrm{nm}\gg d.$$ L'électron est si léger que, même à température ambiante, son onde couvre des dizaines de distances interatomiques : le gaz d'électrons d'un métal est profondément quantique.

Le point délicat. La relation $\frac{1}{2}m{u}^2=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ est une loi du gaz classique ; l'appliquer à un gaz qu'on va déclarer quantique est incohérent, et d'ailleurs les électrons d'un métal vont beaucoup plus vite que ne l'indique l'agitation thermique. Mais la conclusion est robuste : avec une vitesse réelle de l'ordre de $10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\lambda =h/(m_{e}v)\approx 0,5\mathrm{nm}$, encore supérieure à $d$. Un raisonnement en ordre de grandeur se juge à sa robustesse : changer l'estimation d'un facteur dix ne change pas la conclusion.

e) Quand l'hélium gazeux deviendrait-il quantique ? On écrit $\lambda =d$ avec $n=P/(k_{B}T)$ : $\frac{h}{\sqrt{3m{k}_{B}T}}={\left(\frac{k_{B}T}{P}\right)}^{1/3}$. En élevant au cube, $\frac{h^3}{(3m{k}_B{)}^{3/2}{T}^{3/2}}=\frac{k_{B}T}{P}$, donc $T^{5/2}=\frac{h^{3}P}{(3m{)}^{3/2}{k}_B^{5/2}}$, d'où $$T={\left(\frac{h^{3}P}{(3m{)}^{3/2}{k}_B^{5/2}}\right)}^{2/5}\approx 3\mathrm{K}.$$ À cette température et sous $1\mathrm{bar}$, l'hélium n'est plus gazeux : il est déjà liquide. On ne peut donc observer un gaz quantique d'atomes qu'à des densités beaucoup plus faibles, ce qui oblige à descendre bien plus bas en température — c'est la raison pour laquelle les gaz quantiques d'atomes n'ont été obtenus qu'en refroidissant des vapeurs très diluées à des températures inférieures au microkelvin.

Ce que l'exercice installe. Le critère du programme, « $\lambda$ comparable à une taille caractéristique », appliqué avec la bonne taille : pour un gaz, la distance entre particules. Le rapport $\lambda /d$ se lit comme un thermomètre du quantique : il grandit quand la température baisse, quand la masse diminue, quand la densité augmente. Et l'on retient l'ordre des choses : un gaz ordinaire est classique, l'hélium liquide et les électrons des métaux ne le sont pas.