physique des ondes (PCSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

L'électron accéléré et le microscope électronique

Dualité onde-particule · B. L'onde de matière : la relation de de Broglie · niveau 2

Énoncé

Un électron, initialement au repos, est accéléré par une différence de potentiel $U > 0$ . On néglige le poids.

a) Par le théorème de l'énergie cinétique, exprimer sa vitesse finale, puis sa longueur d'onde de de Broglie $λ$ en fonction de $h$ , $m_{e}$ , $e$ et $U$ . Vérifier l'homogénéité, puis montrer que $λ \approx \frac{1 , 23}{U} nm$ si $U$ est exprimée en volts.

b) Un microscope électronique accélère ses électrons sous $U = 15 kV$ . Calculer $v$ , $v / c$ et $λ$ . Comparer $λ$ à la longueur d'onde de la lumière visible ( $550 nm$ ).

c) Le calcul repose sur l'expression newtonienne de l'énergie cinétique. On admet qu'elle est fiable tant que $e U ≪ m_{e} c^{2}$ , où $m_{e} c^{2} \approx 511 keV$ est l'énergie de masse de l'électron. Est-ce le cas à $15 kV$ ? Que donnerait la formule newtonienne pour un microscope de recherche fonctionnant sous $300 kV$ ? Conclure.

d) La finesse des détails qu'un instrument d'imagerie peut séparer est limitée, au mieux, par la longueur d'onde de ce qui sert à regarder. Pourquoi un microscope optique ne peut-il pas montrer les atomes, distants d'environ $0, 1$ à $0, 3 nm$ ? Pourquoi un microscope électronique le peut-il, en principe ?

e) Des rayons X de même longueur d'onde montreraient-ils aussi les atomes ? Calculer l'énergie d'un photon de longueur d'onde $λ$ , et dire quel avantage pratique décisif ont les électrons pour former une image.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de l'énergie cinétique, avec le travail de la force électrique $∣ q ∣ U = e U$ pour une charge accélérée par une différence de potentiel $U$ , et la relation de de Broglie $λ = h / p$ , $p = m_{e} v$ dans le cadre newtonien.

a) La formule. Le théorème de l'énergie cinétique entre le repos et la sortie donne $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} - 0 = e U$ , d'où $v = \frac{2 e U}{m _{e}}, p = m_{e} v = 2 m_{e} e U, λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{2 m _{e} e U} .$ Homogénéité. $e U$ est une énergie, donc $m_{e} e U$ s'exprime en $kg J = k g^{2} m^{2} s^{- 2}$ , et sa racine en $kg m s^{- 1}$ : c'est une quantité de mouvement. $h$ en $J s = kg m^{2} s^{- 1}$ , divisé par une quantité de mouvement, donne des mètres.

La forme pratique. Tout ce qui ne dépend pas de $U$ se calcule une fois pour toutes : $\frac{h}{2 m _{e} e} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 1, 23 \times 1 0^{- 9} m V^{1/2},$ d'où $λ \approx 1, 23/ U$ nanomètre, $U$ en volts. Il faut multiplier la tension par cent pour diviser la longueur d'onde par dix.

b) Le microscope à $15 kV$ . $v = \frac{2 \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 5 \times 1 0 ^{4}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 7, 3 \times 1 0^{7} m s^{- 1}, \frac{v}{c} \approx 0, 24,$ et $λ \approx 1, 23/ 15000 \approx 1, 0 \times 1 0^{- 2} nm = 10 pm$ . C'est environ cinquante-cinq mille fois plus court que la lumière visible, et dix fois plus court que la distance entre deux atomes.

c) Le domaine de validité. À $15 kV$ , $e U / (m_{e} c^{2}) = 15/511 \approx 0, 03$ : la condition $e U ≪ m_{e} c^{2}$ est raisonnablement satisfaite, et l'erreur commise sur $λ$ est de l'ordre du pourcent — un calcul relativiste, hors programme, la chiffre à moins de $1 %$ . À $300 kV$ en revanche, $e U / (m_{e} c^{2}) \approx 0, 59$ , et la formule newtonienne donnerait $\frac{v}{c} = \frac{2 e U}{m _{e} c ^{2}} = 2 \times 0, 59 \approx 1, 08 :$ une vitesse supérieure à celle de la lumière, ce qui est impossible. Ce n'est pas une erreur de calcul : c'est le modèle newtonien qui signale lui-même qu'on a quitté son domaine. La formule $λ = 1, 23/ U$ nm ne vaut que pour $U$ petit devant quelques dizaines de kilovolts.

d) Ce que la longueur d'onde permet de voir. Le microscope optique regarde avec une onde de quelques centaines de nanomètres : deux détails plus proches que cela donnent une seule tache, et des atomes distants de quelques dixièmes de nanomètre sont plus de mille fois trop serrés. Les électrons de $15 kV$ , avec $λ \approx 0, 01 nm$ , ne sont plus limités par leur longueur d'onde à l'échelle atomique. En pratique, la résolution des meilleurs microscopes électroniques est limitée par les défauts des lentilles plutôt que par $λ$ , et atteint l'ordre du dixième de nanomètre : c'est ce qui permet d'imager des colonnes d'atomes.

e) Pourquoi pas des rayons X ? Un photon de $λ = 0, 01 nm$ porte $E = h c / λ \approx 2 \times 1 0^{- 14} J \approx 124 keV$ : ce sont des rayons X durs, qui traversent la matière et l'endommagent, alors que l'électron de même longueur d'onde n'a que $15 keV$ . Et surtout, l'électron est chargé : un champ magnétique le dévie, ce qui permet de construire des lentilles magnétiques qui forment une image agrandie. Les photons X, eux, ne se laissent pas focaliser aussi simplement.

Ce que l'exercice installe. La chaîne qui reviendra dans tous les exercices de matière : théorème de l'énergie cinétique, puis $p$ , puis $λ = h / p$ , et la forme pratique $λ \approx 1, 23/ U$ nm qu'on retient avec son domaine de validité. On a aussi vu une habitude de prépa : un modèle s'accompagne d'une condition de validité chiffrée, ici $e U ≪ m_{e} c^{2}$ , et quand la formule produit une vitesse plus grande que $c$ , c'est cette condition qui est violée.

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