L'expérience de Davisson et Germer (1927)

La stratégie. C'est l'exercice du chapitre sur les interférences, à un détail près : l'onde est celle de l'électron. On calcule donc $\lambda$ par la mécanique, puis on écrit une différence de marche exactement comme pour un réseau optique.

a) La longueur d'onde. Par le théorème de l'énergie cinétique, comme à l'exercice 4 : $$v=\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\times 1,60\times 10^{-19}\times 54}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 4,36\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et $$\lambda =\frac{h}{m_{e}v}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{9,11\times 10^{-31}\times 4,36\times 10^6}\approx 1,67\times 10^{-10}\mathrm{m}=0,167\mathrm{nm}.$$ On vérifie avec la forme pratique : $1,23/\sqrt{54}\approx 0,167\mathrm{nm}$. Et $v/c\approx 0,015$ : le traitement newtonien est sans reproche.

b) La différence de marche. L'incidence est normale : l'onde incidente atteint toutes les rangées de la surface en phase, sans différence de chemin à l'aller. Au retour, considérons deux rangées voisines $A$ et $B$, distantes de $d$, et les deux rayons diffusés parallèlement dans la direction $\theta$. Abaissons depuis $A$ la perpendiculaire au rayon issu de $B$ : au-delà de ce plan d'onde, les deux chemins sont égaux. Le rayon issu de l'une des rangées parcourt en plus la longueur du côté du triangle rectangle d'hypoténuse $d$ opposé à l'angle $\theta$, soit $$\delta =d\sin \theta .$$ Les ondes de deux rangées voisines sont en phase si $\delta$ est un multiple entier de $\lambda$. Si c'est vrai pour deux voisines, c'est vrai de proche en proche pour toutes les rangées, puisque la différence de marche entre la première et la $k$-ième vaut $kd\sin \theta$. D'où la condition, celle d'un réseau sous incidence normale : $$d\sin \theta =p\lambda ,p\in \mathbb{N}.$$

c) La prédiction. Le premier maximum hors de la direction de retour ($p=1$) est à $$\sin {\theta }_1=\frac{\lambda }{d}=\frac{0,167}{0,215}\approx 0,777,{\theta }_1\approx 51^{\circ }.$$ Davisson et Germer mesurent un pic vers $50^{\circ }$ : l'accord est d'environ un degré, à l'incertitude près sur $d$ et sur les constantes. Ils n'avaient pas ajusté de paramètre : $\lambda$ vient de de Broglie, $d$ de la cristallographie par les rayons X. L'électron diffracte comme une onde de longueur d'onde $h/p$.

d) Les limites. Le pic d'ordre $1$ n'existe que si $\sin {\theta }_1=\lambda /d⩽1$, c'est-à-dire $\lambda ⩽d$. Avec $\lambda =h/\sqrt{2m_{e}eU}$, cela s'écrit $$U⩾U_{\min }=\frac{h^2}{2m_{e}e{d}^2}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,60\times 10^{-19}\times (0,215\times 10^{-9}{)}^2}\approx 33\mathrm{V}.$$ Sous trente-trois volts, l'onde est trop longue pour le réseau : aucun pic latéral. Symétriquement, l'ordre $2$ exige $2\lambda ⩽d$, soit une tension quatre fois plus grande, environ $130\mathrm{V}$. Et quand $U$ varie, l'angle du pic se déplace selon $\sin {\theta }_1\propto 1/\sqrt{U}$ : c'est cette dépendance en la tension qui signe l'onde.

Pourquoi un cristal. Pour qu'une structure diffracte de façon visible, il faut que sa période soit de l'ordre de la longueur d'onde, ici quelques dixièmes de nanomètre. Aucune technique de 1927 ne permettait d'usiner des fentes aussi fines ; la nature fournit le réseau tout fait : les rangées d'atomes d'un cristal.

e) Le modèle des billes. Des corpuscules rebondissant sur des atomes seraient renvoyés dans toutes les directions avec une répartition lisse, variant lentement avec l'angle, sans direction privilégiée liée à la tension. La courbe mesurée présente au contraire un maximum net, dont la position dépend de $U$ exactement comme le prédit $d\sin \theta =\lambda$. Un maximum sélectif en angle est la marque d'une interférence : les contributions des rangées s'ajoutent en phase dans une direction et se compensent dans les autres. Des billes n'interfèrent pas.

Ce que l'exercice installe. La transposition : la différence de marche $\delta =d\sin \theta$ et la condition $\delta =p\lambda$ ne savent pas si l'onde est lumineuse ou électronique. Le chapitre sur les interférences s'applique tel quel aux ondes de matière dès qu'on a calculé $\lambda =h/p$. C'est la capacité « décrire une expérience mettant en évidence le comportement ondulatoire de la matière », traitée avec ses nombres et ses cas limites.